Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral
. Para isso, vamos usar duas técnicas de cálculo: uma substituição e, em seguida, a integração por partes. A substituição nos ajuda a simplificar a integral, e a integração por partes é uma técnica útil para integrar produtos de funções.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição. Observamos que a derivada de
é
, mas temos
na nossa integral. Podemos reescrever
usando a identidade trigonométrica
. Assim, a integral fica:
Simplificando:
Passo 3
Agora, fazemos a substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Rearranjando para
:
Passo 4
Substituímos na integral:
Mas, lembre-se que
, então
. Substituindo novamente:
Passo 5
Agora, temos a integral
. Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, que segue a fórmula:
Vamos escolher:
-
(a função que simplifica ao derivar) -
(a parte que é fácil de integrar)
Então, calculamos
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Agora, substituímos
:
Podemos fatorar
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.