Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
integral e^cos t sen 2 t d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral . Para isso, vamos usar duas técnicas de cálculo: uma substituição e, em seguida, a integração por partes. A substituição nos ajuda a simplificar a integral, e a integração por partes é uma técnica útil para integrar produtos de funções.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição. Observamos que a derivada de integral e^cos t cdot 2 sin t cos t , dt é 2 integral e^cos t sin t cos t , dt , mas temos na nossa integral. Podemos reescrever usando a identidade trigonométrica . Assim, a integral fica:
Simplificando:

Passo 3

Agora, fazemos a substituição. Vamos deixar dudt = -sin t implies du = -sin t , dt . Então, a derivada de dt = -dusin t em relação a é:
Rearranjando para :

Passo 4

Substituímos na integral:
2 integral e^u sin t cos t cdot (-dusin t) = -2 integral e^u cos t , du
Mas, lembre-se que -2 integral e^u cdot u , du , então . Substituindo novamente:

Passo 5

Agora, temos a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, que segue a fórmula:
du = du
Vamos escolher:
  • v = integral e^u , du = e^u (a função que simplifica ao derivar)
  • (a parte que é fácil de integrar)
Então, calculamos e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
-2 integral u e^u , du = -2 ( u e^u - e^u ) + C = -2u e^u + 2 e^u + C
Agora, substituímos -2 cos t e^cos t + 2 e^cos t + C :
e^cos t (2 - 2 cos t) + C = 2 e^cos t (1 - cos t) + C
Podemos fatorar :

Resposta

A integral integral e^cos t sin 2t , dt = 2 e^cos t (1 - cos t) + C é igual a , onde é a constante de integração.

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