Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral definida:
O enunciado pede para a gente fazer uma substituição e depois usar integração por partes. Isso está relacionado a técnicas de cálculo integral que ajudam a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar saber como fazer substituições e aplicar a fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Mas na nossa integral temos
, que pode ser escrita como
. Vamos substituir tudo na integral.
Passo 3
Substituindo
e
, a integral fica:
Os limites de integração também mudam conforme a substituição:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral definida fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes na integral
. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
-
-
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Voltando à nossa integral original:
Vamos agora calcular isso nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a diferença fica:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: