Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
integral theta cos theta d theta u=theta, d v=cos theta d theta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de integral theta cos theta , dtheta em relação a , ou seja:
Vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Na questão, já nos deram essas escolhas:

Passo 2

Agora, precisamos encontrar du = dtheta e v = integral cos theta , dtheta = sin theta .
Calculando :
Derivamos em relação a :
Calculando :
Integramos :

Passo 3

Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo integral theta cos theta , dtheta = theta cdot sin theta - integral sin theta cdot dtheta , , e na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral que ficou:
integral sin theta , dtheta
A integral de integral sin theta , dtheta = -cos theta é:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral theta cos theta , dtheta = theta sin theta - (-cos theta) = theta sin theta + cos theta

Resposta

Portanto, a integral de integral theta cos theta , dtheta = theta sin theta + cos theta + C é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados