Primeiro faça uma substituição e depois use integração por partes para calcular as integrais: integral x^5 e^x^2 d x
8
Calcule
a) integral0^pi / 4 e^tg xcos ^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que temos: precisamos calcular duas integrais. Uma indefinida integral x^5 e^x^2 dx usando substituição e integração por partes; e uma definida integral0^pi/4 e^tan xcos^2 x dx usando substituição.

Passo 2

Para a integral integral x^5 e^x^2 dx, note que a presença de e^x^2 e um fator x sugere a substituição u = x^2. Então du = 2x,dx, ou seja x^5 dx = x^4 cdot x,dx = u^2 du2. Assim obtemos:
integral x^5 e^x^2 dx = 12 integral u^2 e^u du

Passo 3

Agora vamos aplicar integração por partes em integral u^2 e^u du. Tomamos A = u^2 e dB = e^u du, então dA = 2u,du e B = e^u. Temos:
integral u^2 e^u du = u^2 e^u - integral 2u e^u du = u^2 e^u - 2integral u e^u du

Passo 4

Repetimos integração por partes em integral u e^u du: escolhemos A = u, dB = e^u du, logo dA = du e B = e^u. Obtém-se:
integral u e^u du = u e^u - integral e^u du = u e^u - e^u Logo:
integral u^2 e^u du = u^2 e^u - 2(u e^u - e^u) = e^u(u^2 - 2u + 2)

Passo 5

Voltando à nossa integral original e desfazendo a substituição u = x^2, fica:
integral x^5 e^x^2 dx = 12 e^x^2l(x^4 - 2x^2 + 2r) + C

Passo 6

Agora vamos para a integral definida integral0^pi/4 e^tan xcos^2 x dx. Observe que ddx(tan x) = 1cos^2 x, então fazemos t = tan x, dt = 1cos^2 x dx. Ao variar x de 0 a pi/4, t vai de 0 a 1. Assim:
integral0^pi/4 e^tan xcos^2 x dx = integral0^1 e^t dt

Passo 7

A integral integral0^1 e^t dt é imediata, pois a primitiva de e^t é e^t. Logo:
integral0^1 e^t dt = [e^t]0^1 = e - 1

Resposta

Integral indefinida: integral x^5 e^x^2 dx = tfrac12 e^x^2(x^4 - 2x^2 + 2) + C. Integral definida: integral0^pi/4 e^tan xcos^2 x dx = e - 1.

Exercícios relacionados