O primeiro termo a de um progressão aritmética de razão 13 satisfaz 0 \leq a \leq 10. Se um dos termos dessa progressão é 61 , determine a+\cdots+61.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informações:
    • O primeiro termo da progressão aritmética é a.
    • A razão da progressão é 13.
    • Há a restrição 0 \leq a \leq 10.
    • Um dos termos da progressão vale 61.
  • Pergunta:
    • Calcular a soma dos termos desde a até o termo que vale 61; isto é, encontrar a+\cdots+61, ou seja, a soma dos primeiros n termos onde o n-ésimo termo é 61.

Passo 2

Vamos escrever a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (PA). Se a é o primeiro termo e d a razão, o n-ésimo termo a_n é dado por
a_n = a + (n-1)d.
Aqui:
  • a_n é o n-ésimo termo (número do termo),
  • a é o primeiro termo,
  • d é a razão,
  • n é um inteiro positivo (posição do termo).
No nosso problema, d=13 e existe algum inteiro n\ge 1 tal que a_n=61.

Passo 3

Usando a fórmula do termo geral e substituindo a_n=61 e d=13, obtemos
61 = a + (n-1)\cdot 13.
Isolando a,
a = 61 - 13(n-1).
Fazendo a conta 61+13 = 74, podemos reescrever
a = 74 - 13n.

Passo 4

Agora usamos a restrição 0 \leq a \leq 10. Substituindo a = 74 - 13n na desigualdade:
0 \leq 74 - 13n \leq 10.
Resolvemos as duas desigualdades separadamente.
Primeira desigualdade:
74 - 13n \ge 0 \implies 13n \le 74 \implies n \le \frac{74}{13} \approx 5{,}692\ldots
Como n é inteiro positivo, isso dá n \le 5.
Segunda desigualdade:
74 - 13n \le 10 \implies -13n \le -64 \implies n \ge \frac{64}{13} \approx 4{,}923\ldots
Como n é inteiro, isso dá n \ge 5.
Juntando as duas: n\le 5 e n\ge 5 implica que o único n inteiro possível é n=5.

Passo 5

Com n=5 voltamos à expressão a = 74 - 13n:
a = 74 - 13\cdot 5 = 74 - 65 = 9.
Verificação rápida: 9 está no intervalo 0\le a\le 10. Os primeiros termos ficam 9,\,22,\,35,\,48,\,61, confirmando que o quinto termo é 61.

Passo 6

Agora precisamos somar os termos desde a até 61. Como 61 é o quinto termo, queremos a soma dos primeiros 5 termos, S_5.
Fórmula prática para a soma dos primeiros n termos de uma PA:
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n),
onde a_1 é o primeiro termo e a_n é o enésimo termo. A ideia por trás da fórmula: emparelhando o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., cada par tem soma igual a a_1+a_n, e há n/2 pares (quando n é ímpar, a fórmula ainda vale porque o termo do meio aparece corretamente na conta).
Aplicando com n=5, a_1=a=9 e a_5=61:
S_5 = \frac{5}{2}\,(9+61) = \frac{5}{2}\cdot 70 = 5\cdot 35 = 175.
(Verificação alternativa usando S_n=\dfrac{n}{2}\bigl(2a+(n-1)d\bigr): \dfrac{5}{2}(2\cdot9 + 4\cdot13)=\dfrac{5}{2}(18+52)=\dfrac{5}{2}\cdot70=175.)

Passo 7

Concluímos que a soma dos termos desde a até 61 é 175. Estou torcendo por você — mandou bem chegando até aqui!

Resposta

175

Exercícios relacionados