O primeiro termo
de um progressão aritmética de razão 13 satisfaz
. Se um dos termos dessa progressão é 61 , determine
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
-
Informações:
- O primeiro termo da progressão aritmética é
. - A razão da progressão é
. - Há a restrição
. - Um dos termos da progressão vale
.
- O primeiro termo da progressão aritmética é
-
Pergunta:
- Calcular a soma dos termos desde
até o termo que vale ; isto é, encontrar , ou seja, a soma dos primeiros termos onde o -ésimo termo é .
- Calcular a soma dos termos desde
Passo 2
Vamos escrever a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética (PA). Se
é o primeiro termo e
a razão, o
-ésimo termo
é dado por
Aqui:
-
é o -ésimo termo (número do termo), -
é o primeiro termo, -
é a razão, -
é um inteiro positivo (posição do termo).
No nosso problema,
e existe algum inteiro
tal que
.
Passo 3
Usando a fórmula do termo geral e substituindo
e
, obtemos
Isolando
,
Fazendo a conta
, podemos reescrever
Passo 4
Agora usamos a restrição
. Substituindo
na desigualdade:
Resolvemos as duas desigualdades separadamente.
Primeira desigualdade:
Como
é inteiro positivo, isso dá
.
Segunda desigualdade:
Como
é inteiro, isso dá
.
Juntando as duas:
e
implica que o único
inteiro possível é
.
Passo 5
Com
voltamos à expressão
:
Verificação rápida:
está no intervalo
. Os primeiros termos ficam
, confirmando que o quinto termo é
.
Passo 6
Agora precisamos somar os termos desde
até
. Como
é o quinto termo, queremos a soma dos primeiros
termos,
.
Fórmula prática para a soma dos primeiros
termos de uma PA:
onde
é o primeiro termo e
é o enésimo termo. A ideia por trás da fórmula: emparelhando o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, etc., cada par tem soma igual a
, e há
pares (quando
é ímpar, a fórmula ainda vale porque o termo do meio aparece corretamente na conta).
Aplicando com
,
e
:
(Verificação alternativa usando
:
.)
Passo 7
Concluímos que a soma dos termos desde
até
é
. Estou torcendo por você — mandou bem chegando até aqui!