Considere uma sucessão de 46 termos tal que cada termo é da forma P+n, com P igual ao produto de todos os primos menores do que ou iguais a 53 e n assumindo, sucessivamente, os valores 2,3,4,5,6, \cdots, 47. Considerando N o número de termos da sucessão P+n que são primos, determine o valor e N.

Passo 1

O enunciado dá uma sucessão de 46 termos cujo k-ésimo termo é da forma P+n, onde P é o produto de todos os primos menores ou iguais a 53 e n assume, sucessivamente, os valores
2,3,4,5,6,\dots,47.
Pede-se para determinar o valor de P e o valor de N, em que N é o número de termos da sucessão P+n que são primos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
P=\prod_{\substack{p\\ \text{primo}\\\ p\le 53}} p,
e a lista de n é \{2,3,\dots,47\}. O total de termos é 46 (pois 47-2+1=46). A tarefa é encontrar explicitamente P e contar quantos dos números P+n (com esses n) são primos, isto é, encontrar N.

Passo 2

Vamos primeiro escrever explicitamente quais primos aparecem no produto P. Os primos menores ou iguais a 53 são:
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53.
Portanto podemos escrever P como o produto desses primos:
P = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 31\cdot 37\cdot 41\cdot 43\cdot 47\cdot 53.
Explicação didática: esse tipo de produto às vezes se chama primorial (análogo do fatorial, mas multiplicando apenas primos). Não há necessidade de fatorar mais — já sabemos exatamente quais fatores aparecem em P.

Passo 3

Podemos calcular o valor numérico de P. Uma forma prática é multiplicar sucessivamente os fatores (ou usar uma tabela conhecida de primorial). O valor exato é
P = 32589158477190044730.
Breve comentário pedagógico: esse número é grande, mas é apenas o produto dos primos listados; se na prova lhe pedirem só a forma em produto, essa forma é suficiente. Aqui eu dei o valor numérico completo para responder “o valor de P” conforme pedido.

Passo 4

Agora vamos estudar a primalidade dos números P+n para n=2,3,\dots,47. A ideia chave (a qual vou explicar passo a passo) é usar divisibilidade por primos que aparecem em P.
Teorema útil (família de observações simples sobre divisibilidade):
Se p é um primo que divide P e também divide n, então p divide P+n, porque P+n\equiv n\pmod p e n\equiv 0\pmod p implica P+n\equiv 0\pmod p.
Aplicação aqui: para qualquer n com 2\le n\le 47, existe pelo menos um primo p tal que p divide n (é o menor primo divisor de n). Esse primo p satisfaz p\le n\le 47, logo p\le 47\le 53. Portanto esse primo p aparece como um dos fatores de P. Assim p divide P e também divide n, então p divide P+n.

Passo 5

Conclusão da etapa anterior e por que isso garante que P+n é composto: se p divide P+n e p<n ou p\le n, precisamos garantir que P+n não seja igual a p (caso fosse igual, não seria compostos por ter divisor igual a ele mesmo). Mas P é o produto de vários primos (pelo menos dois fatores), portanto P\ge 2\cdot 3=6 e de fato P é muito maior que qualquer p\le 53. Em particular,
P+n > P \ge 2\cdot 3\cdot 5 = 30 > 53 \ge p,
ou, de modo mais direto, P já contém p multiplicado por outros fatores maiores que 1, então P>p e assim P+n>p. Assim p é um divisor próprio de P+n menor que P+n, o que mostra que P+n é composto (não é primo).
Portanto, para cada n entre 2 e 47, encontramos um primo p\le 47 que divide P+n, provando que cada P+n é composto.

Passo 6

Para fixar a intuição, um exemplo pequeno e análogo: tome P'=2\cdot 3\cdot 5=30. Então
30+2=32\\ (\text{divisível por }2),\quad 30+3=33\\ (\text{divisível por }3),\quad 30+4=34\\ (\text{divisível por }2),\quad 30+5=35\\ (\text{divisível por }5).íííí
O mesmo raciocínio que usamos para P grande se aplica aqui: qualquer n\le 5 tem um primo divisor que aparece em 30, e por isso 30+n é composto. Isso é exatamente a mesma mecânica que usamos para o caso do enunciado.

Passo 7

Conclusão final sobre N: como cada um dos 46 termos P+n com n=2,3,\dots,47 é composto, não há nenhum primo entre esses termos. Logo o número de termos primos N é
N=0.

Resposta

P=32589158477190044730
N=0

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