Considere uma sucessão de 46 termos tal que cada termo é da forma
, com
igual ao produto de todos os primos menores do que ou iguais a 53 e
assumindo, sucessivamente, os valores
. Considerando
o número de termos da sucessão
que são primos, determine o valor e
.
Passo 1
O enunciado dá uma sucessão de
termos cujo
-ésimo termo é da forma
, onde
é o produto de todos os primos menores ou iguais a
e
assume, sucessivamente, os valores
Pede-se para determinar o valor de
e o valor de
, em que
é o número de termos da sucessão
que são primos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
e a lista de
é
. O total de termos é
(pois
). A tarefa é encontrar explicitamente
e contar quantos dos números
(com esses
) são primos, isto é, encontrar
.
Passo 2
Vamos primeiro escrever explicitamente quais primos aparecem no produto
. Os primos menores ou iguais a
são:
Portanto podemos escrever
como o produto desses primos:
Explicação didática: esse tipo de produto às vezes se chama primorial (análogo do fatorial, mas multiplicando apenas primos). Não há necessidade de fatorar mais — já sabemos exatamente quais fatores aparecem em
.
Passo 3
Podemos calcular o valor numérico de
. Uma forma prática é multiplicar sucessivamente os fatores (ou usar uma tabela conhecida de primorial). O valor exato é
Breve comentário pedagógico: esse número é grande, mas é apenas o produto dos primos listados; se na prova lhe pedirem só a forma em produto, essa forma é suficiente. Aqui eu dei o valor numérico completo para responder “o valor de
” conforme pedido.
Passo 4
Agora vamos estudar a primalidade dos números
para
. A ideia chave (a qual vou explicar passo a passo) é usar divisibilidade por primos que aparecem em
.
Teorema útil (família de observações simples sobre divisibilidade):
Se é um primo que divide
e também divide
, então
divide
, porque
e
implica
.
Se
Aplicação aqui: para qualquer
com
, existe pelo menos um primo
tal que
divide
(é o menor primo divisor de
). Esse primo
satisfaz
, logo
. Portanto esse primo
aparece como um dos fatores de
. Assim
divide
e também divide
, então
divide
.
Passo 5
Conclusão da etapa anterior e por que isso garante que
é composto: se
divide
e
ou
, precisamos garantir que
não seja igual a
(caso fosse igual, não seria compostos por ter divisor igual a ele mesmo). Mas
é o produto de vários primos (pelo menos dois fatores), portanto
e de fato
é muito maior que qualquer
. Em particular,
ou, de modo mais direto,
já contém
multiplicado por outros fatores maiores que
, então
e assim
. Assim
é um divisor próprio de
menor que
, o que mostra que
é composto (não é primo).
Portanto, para cada
entre
e
, encontramos um primo
que divide
, provando que cada
é composto.
Passo 6
Para fixar a intuição, um exemplo pequeno e análogo: tome
. Então
O mesmo raciocínio que usamos para
grande se aplica aqui: qualquer
tem um primo divisor que aparece em
, e por isso
é composto. Isso é exatamente a mesma mecânica que usamos para o caso do enunciado.
Passo 7
Conclusão final sobre
: como cada um dos
termos
com
é composto, não há nenhum primo entre esses termos. Logo o número de termos primos
é