Considere as seguintes sequências:
1^{2}=1
11^{2}=121
111^{2}=12321
1111^{2}=1234321
\vdots
Com base nelas, determine o valor da expressão:
\left(\frac{66666 \cdot 66666}{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}\right)^{2}-123454300

Passo 1

O enunciado dá a sequência de quadrados:
1^{2}=1,\quad 11^{2}=121,\quad 111^{2}=12321,\quad 1111^{2}=1234321,\\ \ldots
e pede para calcular o valor da expressão
\left(\frac{66666\cdot 66666}{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}\right)^{2}-123454300.
Informações relevantes dadas:
66666,\qquad\text{o denominador }1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1.
A pergunta é: qual é o valor numérico da expressão inteira acima?

Passo 2

Calcular o denominador. Somamos os termos
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1.
Observe que isso é a soma 1+2+3+4+5+6 mais 1+2+3+4+5. Calculamos separadamente:
1+2+3+4+5+6=21,\qquad 1+2+3+4+5=15.
Portanto o denominador é
21+15=36.

Passo 3

Fazer uma simplificação algébrica com 66666. Note que
66666=6\cdot 11111.
Então
66666\cdot 66666=(6\cdot 11111)\cdot(6\cdot 11111)=36\cdot 11111^{2}.
Dividindo por 36 obtemos
\frac{66666\cdot 66666}{36}=11111^{2}.
Logo a expressão dentro do quadrado fica 11111^{2}, e a expressão completa é
\left(11111^{2}\right)^{2}=11111^{4}.
Portanto a expressão original se reduz a
11111^{4}-123454300.

Passo 4

Usar a observação dos quadrados dadas no enunciado para identificar 11111^{2}. Pelos exemplos:
11^{2}=121,\quad 111^{2}=12321,\quad 1111^{2}=1234321,
segue o padrão (o número formado por uns ao quadrado gera o palíndromo crescente-decrecente). Logo
11111^{2}=123454321.
Substituindo em 11111^{4} temos
11111^{4}=\bigl(11111^{2}\bigr)^{2}=123454321^{2}.
Portanto a expressão fica
123454321^{2}-123454300.

Passo 5

Reescrever a subtração de forma conveniente. Denote
m=123454321.
Então estamos calculando
m^{2}-123454300.
Observe que 123454300=m-21, porque
m-21=123454321-21=123454300.
Assim a expressão é
m^{2}-(m-21)=m^{2}-m+21.
Mas para obter o valor numérico precisamos do valor de m^{2}.

Passo 6

Calcular m^{2} com decomposição em partes fáceis. Escrevemos
m=123454321=123454\cdot 1000+321.
Usamos (H\cdot 1000+L)^{2}=H^{2}\cdot 10^{6}+2HL\cdot 1000+L^{2} com H=123454 e L=321.
Primeiro calculamos H^{2}. Usamos H=123000+454:
H^{2}=123000^{2}+2\cdot 123000\cdot 454+454^{2}.
Calcule cada termo:
123000^{2}=15\,129\,000\,000,
123000\cdot 454=123\cdot 454\cdot 1000=(49\,200+6\,642)\cdot 1000=55\,842\cdot 1000=55\,842\,000,
2\cdot 123000\cdot 454=2\cdot 55\,842\,000=111\,684\,000,
454^{2}=206\,116.
Somando:
H^{2}=15\,129\,000\,000+111\,684\,000+206\,116=15\,240\,890\,116.
Agora H^{2}\cdot 10^{6} é
15\,240\,890\,116\cdot 1\,000\,000=15\,240\,890\,116\,000\,000.
Calcule 2HL\cdot 1000. Primeiro H\cdot L:
H\cdot L=123454\cdot 321=123454\cdot(300+20+1).
Calcule cada parte:
123454\cdot 300=37\,036\,200,
123454\cdot 20=2\,469\,080,
123454\cdot 1=123\,454.
Somando:
H\cdot L=37\,036\,200+2\,469\,080+123\,454=39\,628\,734.
Então
2HL\cdot 1000=2\cdot 39\,628\,734\cdot 1000=79\,257\,468\,000.
Por fim L^{2}=321^{2}:
321^{2}=103\,041.

Passo 7

Somar as três parcelas para obter m^{2}:
m^{2}=15\,240\,890\,116\,000\,000+79\,257\,468\,000+103\,041.
Somando primeiro as duas primeiras:
15\,240\,890\,116\,000\,000+79\,257\,468\,000=15\,240\,969\,373\,468\,000.
Agora somando 103\,041:
m^{2}=15\,240\,969\,373\,571\,041.

Passo 8

Agora voltamos à expressão original:
m^{2}-123454300=15\,240\,969\,373\,571\,041-123\,454\,300.
Fazendo a subtração:
15\,240\,969\,373\,571\,041-123\,454\,300=15\,240\,969\,250\,116\,741.

Resposta

15,240,969,250,116,741

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