Considere as seguintes sequências:
Com base nelas, determine o valor da expressão:
Com base nelas, determine o valor da expressão:
Passo 1
O enunciado dá a sequência de quadrados:
e pede para calcular o valor da expressão
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: qual é o valor numérico da expressão inteira acima?
Passo 2
Calcular o denominador. Somamos os termos
Observe que isso é a soma
mais
. Calculamos separadamente:
Portanto o denominador é
Passo 3
Fazer uma simplificação algébrica com
. Note que
Então
Dividindo por
obtemos
Logo a expressão dentro do quadrado fica
, e a expressão completa é
Portanto a expressão original se reduz a
Passo 4
Usar a observação dos quadrados dadas no enunciado para identificar
. Pelos exemplos:
segue o padrão (o número formado por uns ao quadrado gera o palíndromo crescente-decrecente). Logo
Substituindo em
temos
Portanto a expressão fica
Passo 5
Reescrever a subtração de forma conveniente. Denote
Então estamos calculando
Observe que
, porque
Assim a expressão é
Mas para obter o valor numérico precisamos do valor de
.
Passo 6
Calcular
com decomposição em partes fáceis. Escrevemos
Usamos
com
e
.
Primeiro calculamos
. Usamos
:
Calcule cada termo:
Somando:
Agora
é
Calcule
. Primeiro
:
Calcule cada parte:
Somando:
Então
Por fim
:
Passo 7
Somar as três parcelas para obter
:
Somando primeiro as duas primeiras:
Agora somando
:
Passo 8
Agora voltamos à expressão original:
Fazendo a subtração:
Resposta
15,240,969,250,116,741