O primeiro trabalho de uma classe de cálculo estatístico envolve a execução de um programa curto. Se a experiência anterior indica que 40 \% de todos os alunos não cometerão erros de programação, calcule a probabilidade (aproximada) de que em uma classe de 50 alunos:
a) Pelo menos 25 não cometerão erros. (Sugestão: aproximação da normal para a binomial.)
b) Entre 15 e 25 (inclusive) não cometerão erros.

Passo 1

O enunciado dá que em uma experiência cada aluno tem probabilidade \,40\%\, de não cometer erro de programação. A classe tem 50 alunos. Precisamos calcular duas probabilidades aproximadas:
a) A probabilidade de que pelo menos 25 alunos não cometam erros.
b) A probabilidade de que entre 15 e 25 alunos inclusive não cometam erros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • n=50 (tamanho da classe).
  • p=0,40 (probabilidade de sucesso = “não cometer erro”).
  • A variável de interesse X é o número de alunos que não cometem erros; originalmente X\sim Binomial (n,p)= Binomial (50,0,40).
  • O enunciado sugere usar a aproximação normal para a binomial (ou seja, aproximar X por uma normal quando apropriado).

Passo 2

Por que podemos aproximar a binomial por normal e qual é o procedimento?
Breve aula: A distribuição binomial conta o número de sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso em cada tentativa. Ela tem média e variância dadas por:
\text{média}:\quad \mu = n p,é
\text{variância}:\quad \sigma^2 = n p (1-p).â
Quando n é razoavelmente grande e p não é muito extremo (próximo de 0 ou 1), a binomial pode ser aproximada por uma normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^2). Regra prática: np\ge 5 e n(1-p)\ge 5 costumam ser suficientes. Aqui:
np = 50\cdot0,40=20,\qquad n(1-p)=50\cdot0,60=30,
ambos maiores que 5, então a aproximação é válida.
Importante: usar correção de continuidade ao aproximar uma variável discreta (binomial) por uma contínua (normal). Para calcular probabilidades do tipo P(X\ge k) ou P(a\le X\le b), ajustar os limites somando/subtraindo 0,5 antes de padronizar.

Passo 3

Calcular média \mu e desvio padrão \sigma da binomial (que serão os parâmetros da normal aproximante).
\mu = n p = 50\cdot 0,40 = 20.
\sigma^2 = n p (1-p) = 50\cdot 0,40\cdot 0,60 = 12.
\sigma = \sqrt{12}\approx 3,4641.
Vou usar \sigma\approx 3,4641 nas contas seguintes.

Passo 4

Parte (a): calcular P(X\ge 25).
Passo a passo (didático):
  • Queremos P(X\ge 25) para X binomial discreta.
  • Aplicamos correção de continuidade: P(X\ge 25)\approx P(Y\ge 24,5) onde Y é a normal contínua \mathcal{N}(\mu,\sigma^2).
  • Padronizamos para a normal padrão Z\sim\mathcal{N}(0,1) com a transformação Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}.
Calcular o valor de z:
z = \frac{24,5-20}{3,4641} = \frac{4,5}{3,4641}\approx 1,299.
Agora usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z) (tabela z):
\Phi(1,30) na tabela padrão vale aproximadamente 0,9032. Para z\approx 1,299 a diferença é desprezível, então usamos \Phi(1,299)\approx 0,9032.
A probabilidade buscada:
P(X\ge 25)\approx P(Z\ge 1,299)=1-\Phi(1,299)\approx 1-0,9032=0,0968.
Arredondando sensatamente, P(X\ge 25)\approx 0,097.

Passo 5

Parte (b): calcular P(15\le X\le 25) (inclusive).
Passo a passo (didático):
  • Para intervalo com inclusivos, usamos correção de continuidade nas duas extremidades:
P(15\le X\le 25)\approx P(14,5\le Y\le 25,5)
onde Y\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2).
  • Padronizamos os dois limites:
Limite inferior:
z_1=\frac{14,5-20}{3,4641}=\frac{-5,5}{3,4641}\approx -1,588.
Limite superior:
z_2=\frac{25,5-20}{3,4641}=\frac{5,5}{3,4641}\approx 1,588.
Observação: por simetria \Phi(-1,588)=1-\Phi(1,588). Então
P(14,5\le Y\le 25,5)=\Phi(1,588)-\Phi(-1,588)=2\Phi(1,588)-1.
Agora consultar tabela para \Phi(1,588). Temos \Phi(1,58)\approx 0,9429 e \Phi(1,59)\approx 0,9441. Interpolando para 1,588 (ou usando o valor direto aproximado), obtemos \Phi(1,588)\approx 0,9439.
Logo:
P(15\le X\le 25)\approx 2\cdot0,9439-1=0,8878.
Arredondando: P(15\le X\le 25)\approx 0,888.

Passo 6

Resumo numérico e checagem rápida:
  • Média =20, desvio padrão \approx 3,4641. Os z’s calculados e as probabilidades derivadas são consistentes e razoáveis (as probabilidades somam coerentemente se comparadas com complementos etc.). Os arredondamentos nas tabelas de \Phi geram pequenas diferenças de última casa decimal.

Resposta

a) 0,097
b) 0,888

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