O primeiro trabalho de uma classe de cálculo estatístico envolve a execução de um programa curto. Se a experiência anterior indica que
de todos os alunos não cometerão erros de programação, calcule a probabilidade (aproximada) de que em uma classe de 50 alunos:
a) Pelo menos 25 não cometerão erros. (Sugestão: aproximação da normal para a binomial.)
b) Entre 15 e 25 (inclusive) não cometerão erros.
a) Pelo menos 25 não cometerão erros. (Sugestão: aproximação da normal para a binomial.)
b) Entre 15 e 25 (inclusive) não cometerão erros.
Passo 1
O enunciado dá que em uma experiência cada aluno tem probabilidade
de não cometer erro de programação. A classe tem
alunos. Precisamos calcular duas probabilidades aproximadas:
a) A probabilidade de que pelo menos
alunos não cometam erros.
b) A probabilidade de que entre
e
alunos inclusive não cometam erros.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(tamanho da classe). -
(probabilidade de sucesso = “não cometer erro”). - A variável de interesse
é o número de alunos que não cometem erros; originalmente Binomial Binomial . - O enunciado sugere usar a aproximação normal para a binomial (ou seja, aproximar
por uma normal quando apropriado).
Passo 2
Por que podemos aproximar a binomial por normal e qual é o procedimento?
Breve aula: A distribuição binomial
conta o número de sucessos em
tentativas independentes com probabilidade
de sucesso em cada tentativa. Ela tem média e variância dadas por:
Quando
é razoavelmente grande e
não é muito extremo (próximo de 0 ou 1), a binomial pode ser aproximada por uma normal
. Regra prática:
e
costumam ser suficientes. Aqui:
ambos maiores que
, então a aproximação é válida.
Importante: usar correção de continuidade ao aproximar uma variável discreta (binomial) por uma contínua (normal). Para calcular probabilidades do tipo
ou
, ajustar os limites somando/subtraindo
antes de padronizar.
Passo 3
Calcular média
e desvio padrão
da binomial (que serão os parâmetros da normal aproximante).
Vou usar
nas contas seguintes.
Passo 4
Parte (a): calcular
.
Passo a passo (didático):
- Queremos
para binomial discreta. - Aplicamos correção de continuidade:
onde é a normal contínua . - Padronizamos para a normal padrão
com a transformação .
Calcular o valor de
:
Agora usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão
(tabela z):
na tabela padrão vale aproximadamente
. Para
a diferença é desprezível, então usamos
.
A probabilidade buscada:
Arredondando sensatamente,
.
Passo 5
Parte (b): calcular
(inclusive).
Passo a passo (didático):
- Para intervalo com inclusivos, usamos correção de continuidade nas duas extremidades:
onde
.
- Padronizamos os dois limites:
Limite inferior:
Limite superior:
Observação: por simetria
. Então
Agora consultar tabela para
. Temos
e
. Interpolando para
(ou usando o valor direto aproximado), obtemos
.
Logo:
Arredondando:
.
Passo 6
Resumo numérico e checagem rápida:
- Média
, desvio padrão . Os z’s calculados e as probabilidades derivadas são consistentes e razoáveis (as probabilidades somam coerentemente se comparadas com complementos etc.). Os arredondamentos nas tabelas de geram pequenas diferenças de última casa decimal.
Resposta
a)
b)