Na fabricação de uma peça, um eixo cilíndrico, com uma seção transversal circular deve-se encaixar num soquete circular. É sabido que as distribuições do diâmetro do eixo e do diâmetro do soquete são ambas Normais. Para o diâmetro do eixo a média é de
, com um desvio padrão de
. Para o diâmetro de soquete, a média é
, com um desvio padrão de
. Suponha que, para efeitos de montagem, os componentes das peças são selecionadas ao acaso, e que eles só se encaixam se a folga estiver entre 0,025 cm e
. Suponha também, independência entre os diâmetros do eixo e do soquete. Responda: Qual a probabilidade do eixo se encaixar no soquete?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, escolhidos ao acaso, um eixo e um soquete se encaixem, sob a condição de que a folga esteja entre
e
. As informações fornecidas são:
- Diâmetro do eixo: média
, desvio padrão . - Diâmetro do soquete: média
, desvio padrão . - As duas variáveis são independentes e cada uma é normalmente distribuída.
- A folga é definida como
. O encaixe ocorre se .
Passo 2
Definir variáveis e objetivo matemático, com explicação do conceito usado: seja
o diâmetro do eixo e
o diâmetro do soquete. A folga é a diferença
Quando duas variáveis normais independentes são somadas ou subtraídas, a combinação linear também é normal. Ou seja,
será uma variável aleatória normalmente distribuída. Para trabalhar com isso, precisamos da média e da variância de
.
Explicando as fórmulas que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Se
e , então . - Se
e , e e são independentes, então . - A distribuição de
será então com e .
Passo 3
Calcular a média e o desvio padrão de
, com contas detalhadas:
- Média de
:
- Variância de
:
- Desvio padrão de
:
Portanto
Passo 4
Escrever a probabilidade desejada em termos de
:
Para calcular isso, padronizamos
transformando em uma variável normal padrão
(com média 0 e desvio 1). A padronização é:
Assim a probabilidade vira diferença de funções de distribuição padrão:
Passo 5
Calcular os escores
(contas detalhadas):
- Primeiro escore:
- Segundo escore:
Explicando como usar uma tabela/funcão de
:
, onde
é a função distribuição acumulada da normal padrão. Para
e
acima:
Como
, é prático usar os valores positivos das tabelas.
Passo 6
Obter valores numéricos de
(uso de tabela ou calculadora):
- Aproximando por tabela ou calculadora:
Portanto, usando
,
Substituindo os números:
Interpretação final: a probabilidade de que a folga fique entre
e
, ou seja, de que o eixo se encaixe no soquete sob as condições dadas, é aproximadamente
, isto é, cerca de
.