Na fabricação de uma peça, um eixo cilíndrico, com uma seção transversal circular deve-se encaixar num soquete circular. É sabido que as distribuições do diâmetro do eixo e do diâmetro do soquete são ambas Normais. Para o diâmetro do eixo a média é de 3,42 \mathrm{~cm}, com um desvio padrão de 0,01 \mathrm{~cm}. Para o diâmetro de soquete, a média é 3,47 \mathrm{~cm}, com um desvio padrão de 0,02 \mathrm{~cm}. Suponha que, para efeitos de montagem, os componentes das peças são selecionadas ao acaso, e que eles só se encaixam se a folga estiver entre 0,025 cm e 0,100 \mathrm{~cm}. Suponha também, independência entre os diâmetros do eixo e do soquete. Responda: Qual a probabilidade do eixo se encaixar no soquete?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, escolhidos ao acaso, um eixo e um soquete se encaixem, sob a condição de que a folga esteja entre 0{,}025\\ \text{cm} e 0{,}100\\ \text{cm}. As informações fornecidas são:
  • Diâmetro do eixo: média \mu_X=3{,}42\\ \text{cm}, desvio padrão \sigma_X=0{,}01\\ \text{cm}.
  • Diâmetro do soquete: média \mu_Y=3{,}47\\ \text{cm}, desvio padrão \sigma_Y=0{,}02\\ \text{cm}.
  • As duas variáveis são independentes e cada uma é normalmente distribuída.
  • A folga é definida como \text{folga}=Y-X. O encaixe ocorre se 0{,}025 \le Y-X \le 0{,}100.

Passo 2

Definir variáveis e objetivo matemático, com explicação do conceito usado: seja X o diâmetro do eixo e Y o diâmetro do soquete. A folga é a diferença
C = Y - X.
Quando duas variáveis normais independentes são somadas ou subtraídas, a combinação linear também é normal. Ou seja, C será uma variável aleatória normalmente distribuída. Para trabalhar com isso, precisamos da média e da variância de C.
Explicando as fórmulas que vou usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Se \mathbb{E}[X]=\mu_X e \mathbb{E}[Y]=\mu_Y, então \mathbb{E}[Y-X]=\mu_Y-\mu_X.
  • Se \operatorname{Var}(X)=\sigma_X^{2} e \operatorname{Var}(Y)=\sigma_Y^{2}, e X e Y são independentes, então \operatorname{Var}(Y-X)=\operatorname{Var}(Y)+\operatorname{Var}(X)=\sigma_Y^{2}+\sigma_X^{2}.
  • A distribuição de C será então \,C\sim N(\mu_C,\sigma_C^{2}) com \mu_C=\mu_Y-\mu_X e \sigma_C=\sqrt{\sigma_Y^{2}+\sigma_X^{2}}.

Passo 3

Calcular a média e o desvio padrão de C, com contas detalhadas:
  • Média de C:
\mu_C=\mu_Y-\mu_X=3{,}47-3{,}42=0{,}05\\ \text{cm}.
  • Variância de C:
\sigma_C^{2}=\sigma_Y^{2}+\sigma_X^{2}=(0{,}02)^{2}+(0{,}01)^{2}=0{,}0004+0{,}0001=0{,}0005\\ (\text{cm}^2).
  • Desvio padrão de C:
\sigma_C=\sqrt{0{,}0005}=\sqrt{\frac{5}{10000}}=\frac{\sqrt{5}}{100}\approx0{,}0223606798\\ \text{cm}.
Portanto
C \sim N\bigl(0{,}05,\;0{,}0005\bigr).

Passo 4

Escrever a probabilidade desejada em termos de C:
P(0{,}025 \le Y-X \le 0{,}100)=P(0{,}025 \le C \le 0{,}100).
Para calcular isso, padronizamos C transformando em uma variável normal padrão Z (com média 0 e desvio 1). A padronização é:
Z=\frac{C-\mu_C}{\sigma_C}.
Assim a probabilidade vira diferença de funções de distribuição padrão:
P(0{,}025 \le C \le 0{,}100)=P\!\left(\frac{0{,}025-\mu_C}{\sigma_C}\le Z \le \frac{0{,}100-\mu_C}{\sigma_C}\right).

Passo 5

Calcular os escores z (contas detalhadas):
  • Primeiro escore:
z_1=\frac{0{,}025-\mu_C}{\sigma_C}=\frac{0{,}025-0{,}05}{0{,}0223606798}=\frac{-0{,}025}{0{,}0223606798}\approx-1{,}1180339887.
  • Segundo escore:
z_2=\frac{0{,}100-\mu_C}{\sigma_C}=\frac{0{,}100-0{,}05}{0{,}0223606798}=\frac{0{,}05}{0{,}0223606798}\approx2{,}2360679775.
Explicando como usar uma tabela/funcão de Z: P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a), onde \Phi é a função distribuição acumulada da normal padrão. Para z_1 e z_2 acima:
P(0{,}025 \le C \le 0{,}100)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1).
Como \Phi(-1{,}1180339)=1-\Phi(1{,}1180339), é prático usar os valores positivos das tabelas.

Passo 6

Obter valores numéricos de \Phi (uso de tabela ou calculadora):
  • Aproximando por tabela ou calculadora:
\Phi(1{,}1180339)\approx0{,}8682\quad\text{(tabela/interpolação)}.çã
\Phi(2{,}23606798)\approx0{,}9873\quad\text{(tabela/interpolação)}.çã
Portanto, usando \Phi(-1{,}1180339)=1-\Phi(1{,}1180339),
\Phi(z_2)-\Phi(z_1)=\Phi(2{,}23606798)-\Phi(-1{,}1180339) =\Phi(2{,}23606798)+\Phi(1{,}1180339)-1.
Substituindo os números:
\Phi(2{,}23606798)+\Phi(1{,}1180339)-1\approx0{,}9873+0{,}8682-1=0{,}8555.
Interpretação final: a probabilidade de que a folga fique entre 0{,}025\\ \text{cm} e 0{,}100\\ \text{cm}, ou seja, de que o eixo se encaixe no soquete sob as condições dadas, é aproximadamente 0{,}8555, isto é, cerca de 85{,}55\%.

Resposta

0{,}8555

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