O engarrafamento de um refrigerante de 300 ml tem variações de modo que o volume do líquido numa garrafa é uma variável aleatória com distribuição
. Numa inspeção, 10 garrafas são selecionadas e o volume de cada garrafa:
é medido, de modo que se a média
engarrafadora é multada. Qual é a probabilidade de multa?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- O volume de uma garrafa é uma variável aleatória com distribuição
. Ou seja, a média populacional é (ml) e o desvio-padrão populacional é (ml). - Foi selecionada uma amostra de tamanho
: . - A estatística observada é a média amostral
. - Regra de inspeção: a engarrafadora é multada se
(ml).
O que a questão pede:
- Calcular a probabilidade de multa, isto é
.
Passo 2
Conceito que vou usar (explicado de forma simples): quando as observações vêm de uma população normal
, a média amostral
tem distribuição normal exata com média
e variância
. Em fórmulas:
Aqui isso vale exatamente porque a população é normal (não precisamos do Teorema do Limite Central para aproximar).
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
- A média da distribuição da média amostral é
- O desvio-padrão da média amostral (ou erro padrão) é
Posso simplificar um pouco a expressão para facilitar cálculo manual:
Passo 4
Calcular numericamente o erro padrão e o valor padronizado. Primeiro uma forma exata simples do z:
Agora a aproximação numérica:
, logo
e
Passo 5
Interpretando o
: a probabilidade pedida é
onde
é uma variável aleatória com distribuição normal padrão
. Usando a simetria da normal:
Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora (ou lembrando valores aproximados), tem-se
. Portanto
Passo 6
Interpretação final em linguagem simples: a chance de, numa amostra de 10 garrafas, a média de volume ficar abaixo de 290 ml (e assim a fábrica ser multada) é cerca de
. É razoavelmente baixa, mas não desprezível — ou seja, em média em cerca de 10 em cada 100 inspeções similares ocorreria multa.