O engarrafamento de um refrigerante de 300 ml tem variações de modo que o volume do líquido numa garrafa é uma variável aleatória com distribuição \mathrm{N}\left(300,25^{2}\right). Numa inspeção, 10 garrafas são selecionadas e o volume de cada garrafa: V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{10} é medido, de modo que se a média \bar{V}=\frac{V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{10}}{\text { amostral for menor que } 290(\mathrm{ml}) \text { então a }}ã engarrafadora é multada. Qual é a probabilidade de multa?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • O volume de uma garrafa é uma variável aleatória com distribuição \mathrm{N}\left(300,25^{2}\right). Ou seja, a média populacional é \mu=300 (ml) e o desvio-padrão populacional é \sigma=25 (ml).
  • Foi selecionada uma amostra de tamanho n=10: V_{1},V_{2},\ldots,V_{10}.
  • A estatística observada é a média amostral \displaystyle \bar{V}=\frac{V_{1}+\cdots+V_{10}}{10}.
  • Regra de inspeção: a engarrafadora é multada se \bar{V}<290 (ml).
O que a questão pede:
  • Calcular a probabilidade de multa, isto é \Pr\bigl(\bar{V}<290\bigr).

Passo 2

Conceito que vou usar (explicado de forma simples): quando as observações vêm de uma população normal \mathrm{N}(\mu,\sigma^{2}), a média amostral \bar{V} tem distribuição normal exata com média \mu_{\bar{V}}=\mu e variância \sigma_{\bar{V}}^{2}=\dfrac{\sigma^{2}}{n}. Em fórmulas:
\bar{V}\sim \mathrm{N}\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Aqui isso vale exatamente porque a população é normal (não precisamos do Teorema do Limite Central para aproximar).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
  • A média da distribuição da média amostral é
\mu_{\bar{V}}=\mu=300.
  • O desvio-padrão da média amostral (ou erro padrão) é
\sigma_{\bar{V}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{25}{\sqrt{10}}.
Posso simplificar um pouco a expressão para facilitar cálculo manual:
\frac{25}{\sqrt{10}}=\frac{25}{\sqrt{10}}\quad\text{(valor numérico logo em seguida).}é

Passo 4

Calcular numericamente o erro padrão e o valor padronizado. Primeiro uma forma exata simples do z:
z=\frac{290-300}{\sigma_{\bar{V}}}=\frac{-10}{25/\sqrt{10}}=-10\cdot\frac{\sqrt{10}}{25}=-\frac{10\sqrt{10}}{25}=-\frac{2\sqrt{10}}{5}.
Agora a aproximação numérica: \sqrt{10}\approx3{,}1623, logo
\sigma_{\bar{V}}=\frac{25}{\sqrt{10}}\approx\frac{25}{3{,}1623}\approx7{,}9057,
e
z\approx\frac{-10}{7{,}9057}\approx-1{,}2649.

Passo 5

Interpretando o z: a probabilidade pedida é
\Pr\bigl(\bar{V}<290\bigr)=\Pr\bigl(Z<z\bigr)=\Pr\bigl(Z<-1{,}2649\bigr),
onde Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão \mathrm{N}(0,1). Usando a simetria da normal:
\Pr(Z<-1{,}2649)=1-\Pr(Z\le 1{,}2649).
Consultando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora (ou lembrando valores aproximados), tem-se \Pr(Z\le 1{,}2649)\approx0{,}8970. Portanto
\Pr\bigl(\bar{V}<290\bigr)\approx1-0{,}8970=0{,}1030.

Passo 6

Interpretação final em linguagem simples: a chance de, numa amostra de 10 garrafas, a média de volume ficar abaixo de 290 ml (e assim a fábrica ser multada) é cerca de 10{,}3\%. É razoavelmente baixa, mas não desprezível — ou seja, em média em cerca de 10 em cada 100 inspeções similares ocorreria multa.

Resposta

\Pr(\bar{V}<290)\approx0{,}1030

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