A primitiva de

\int \frac{1}{\sqrt{25 x^{2}-4}} d x

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma primitiva da integral
\int \frac{1}{\sqrt{25x^{2}-4}}\,dx.
O conteúdo é integrar uma função com raiz do tipo \sqrt{a x^{2}-b}. Vamos usar substituição hiperbólica para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
\frac{5x}{2}=\operatorname{cosh}(u),
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x=\frac{2}{5}\operatorname{cosh}(u), \qquad dx=\frac{2}{5}\operatorname{sinh}(u)\,du.

Passo 3

Calculamos a raiz em função de u:
\sqrt{25x^{2}-4} =\sqrt{4\operatorname{cosh}^{2}(u)-4} =2\sqrt{\operatorname{cosh}^{2}(u)-1} =2\operatorname{sinh}(u).
Substituindo em \int\frac{dx}{\sqrt{25x^2-4}}:
\int \frac{dx}{\sqrt{25x^2-4}} = \int \frac{\frac{2}{5}\operatorname{sinh}(u)\,du}{2\operatorname{sinh}(u)} = \int \frac{1}{5}\,du = \frac{u}{5}+C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
u=\arccosh\!\Bigl(\frac{5x}{2}\Bigr).
Então
\int \frac{dx}{\sqrt{25x^2-4}} = \frac{1}{5}\,\arccosh\!\Bigl(\frac{5x}{2}\Bigr)+C.
Usando \arccosh(z)=\ln\bigl(z+\sqrt{z^{2}-1}\bigr), podemos também escrever
\frac{1}{5}\ln\!\Bigl(\frac{5x}{2}+\sqrt{\frac{25x^2}{4}-1}\Bigr) =\frac{1}{5}\ln\!\Bigl(5x+\sqrt{25x^2-4}\Bigr)+C',
onde C' é constante ajustada.

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{25x^{2}-4}}\,dx = \frac{1}{5}\ln\bigl|5x+\sqrt{25x^{2}-4}\bigr|+C.

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