Questão 2:

Ao decompor o quociente \frac{x^{2}-4}{(x-1)^{3}} encontraremos
\bigcirc \frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}+\frac{3}{(x-1)^{3}}
\bigcirc \frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{3}{(x-1)^{3}}
\bigcirc \frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{3}{(x-1)^{3}}
\bigcirc \frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x-1)^{2}}+\frac{3}{(x-1)^{3}}
\bigcirc-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{3}{(x-1)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
\frac{x^{2}-4}{(x-1)^{3}}
numa soma da forma
\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}}.
O conteúdo é frações parciais com fator linear repetido, e vamos precisar montar uma identidade polinomial e igualar coeficientes.

Passo 2

Supondo
\frac{x^{2}-4}{(x-1)^{3}} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{(x-1)^{3}},
multiplicamos ambos os lados por (x-1)^{3}, obtendo
x^{2}-4 = A(x-1)^{2}+B(x-1)+C.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A(x^{2}-2x+1)+B(x-1)+C = A x^{2}+(-2A+B)x+(A -B +C).
Igualando coeficientes com x^{2}-4\): \[\begin{cases} A = 1,\\\\ -2A + B = 0,\\\ A - B + C = -4. \end{cases}
Da primeira equação vem A=1\]. Na segunda, \(-2\cdot1+B=0 B=2. Na terceira, 1-2+C=-4 C=-3. Logo
\frac{x^{2}-4}{(x-1)^{3}} =\frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{3}{(x-1)^{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x-1}+\frac{2}{(x-1)^{2}}-\frac{3}{(x-1)^{3}} (terceira opção)

Exercícios relacionados