1. O Princípio da Conservação da Carga assegura que a matéria não cria nem destrói carga líquida. Partindo do equacionamento em forma integral (do fluxo saindo de um volume em relação à variação temporal da carga presa nele), aplique o Teorema da Divergência para derivar a forma diferencial da Equação da Continuidade. Discuta o que ela prevê no caso de um regime de correntes estacionárias.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) partir da forma integral da conservação de carga (fluxo de corrente saindo de um volume igual à variação temporal da carga no volume) e usar o Teorema da Divergência para obter a forma diferencial da equação da continuidade; (ii) discutir o que essa equação prevê no caso de correntes estacionárias.
As informações que o enunciado nos dá (escritas explicitamente):
\oint_{\partial V} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A} = -\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV,
onde:
  • V é um volume fixo no espaço;
  • \partial V é a superfície que limita V;
  • d\mathbf{A} é o elemento de área orientado para fora (vetor normal da superfície);
  • \mathbf{J}(\mathbf{r},t) é a densidade de corrente (vetor), função do ponto e do tempo;
  • \rho(\mathbf{r},t) é a densidade volumétrica de carga (escalar), função do ponto e do tempo.
O objetivo é transformar essa equação integral numa equação pontual (diferencial) e discutir o caso estacionário.

Passo 2

Apresentar o Teorema da Divergência (Gauss). É uma ferramenta que liga um fluxo de um campo vetorial pela superfície ao comportamento do campo no interior do volume. O enunciado do teorema é:
\oint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{A} = \int_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
para qualquer campo vetorial \mathbf{F}(\mathbf{r}) suficientemente suave e para V qualquer volume com superfície bem comportada. Aqui \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, que mede localmente se o campo tem “fontes” (divergência positiva) ou “sumidouros” (divergência negativa).
No nosso caso vamos aplicar o teorema ao campo \mathbf{F}=\mathbf{J}(\mathbf{r},t).

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência ao membro esquerdo da forma integral dada. Substituindo \mathbf{F}=\mathbf{J} obtemos:
\oint_{\partial V} \mathbf{J}\cdot d\mathbf{A} = \int_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV.
Portanto a equação integral inicial se transforma em
\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV = -\frac{d}{dt}\int_{V}\rho\,dV.

Passo 4

Levar a derivada temporal para dentro da integral do lado direito. Isso é permitido porque estamos integrando sobre um volume V fixo (independente do tempo) e assumimos que \rho(\mathbf{r},t) é diferenciável em t. Pelo teorema de Leibniz para integrais com domínio fixo:
\frac{d}{dt}\int_{V}\rho(\mathbf{r},t)\,dV = \int_{V}\frac{\partial \rho(\mathbf{r},t)}{\partial t}\,dV.
Substituindo na equação do passo anterior:
\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{J}\,dV = -\int_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}\,dV.

Passo 5

Reescrever as duas integrais num só integrando:
\int_{V} \left(\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}\right)\,dV = 0.
Isto vale para qualquer volume V arbitrário no espaço.

Passo 6

Argumento clássico de que, se a integral de uma função sobre qualquer volume arbitrário é zero, então a própria função deve ser zero em cada ponto (assumindo regularidade suficiente). Assim obtemos a forma diferencial (pontual) da equação da continuidade:
\boxed{\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.}
Aqui explicando cada termo:
  • \mathbf{J}(\mathbf{r},t) é a densidade de corrente elétrica: vetor cuja componente em uma direção dá a quantidade de carga que atravessa uma área perpendicular por unidade de tempo e por unidade de área.
  • \rho(\mathbf{r},t) é a densidade volumétrica de carga: carga por unidade de volume num ponto.
  • \nabla\cdot\mathbf{J} mede o “fluxo líquido por unidade de volume” saindo do ponto (se positivo, mais carga sai do que entra naquela vizinhança).
  • \partial \rho/\partial t é a taxa de variação temporal da carga naquele ponto.
A equação diz, localmente, que a taxa com que a carga diminui no ponto ( \partial \rho/\partial t negativa) é igual ao fluxo líquido de corrente saindo desse ponto ( \nabla\cdot\mathbf{J} positivo), e vice‑versa: conservação de carga local.

Passo 7

Interpretação física e didática da equação da continuidade. Algumas notas importantes:
  • A equação é uma declaração local da conservação de carga: a carga só pode mudar num ponto se houver um fluxo de carga entrando ou saindo.
  • Se \nabla\cdot\mathbf{J}>0 num ponto, há saída líquida de carga (o volume perde carga); se \nabla\cdot\mathbf{J}<0, há acumulação de carga no volume.
Exemplo simples para fixar a ideia: numa barra longa com seção transversal A e corrente total I constante que atravessa qualquer seção, a densidade de corrente média é \mathbf{J}=\dfrac{I}{A}\hat{\mathbf{x}} (constante no espaço). Então \nabla\cdot\mathbf{J}=0 porque \mathbf{J} não varia com a posição; isso corresponde a não haver acúmulo de carga ao longo da barra.

Passo 8

Caso de correntes estacionárias (regime estacionário). “Correntes estacionárias” significa que a distribuição de cargas não muda no tempo em cada ponto; em termos matemáticos:
\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.
Inserindo esse fato na equação da continuidade obtemos:
\nabla\cdot\mathbf{J} = 0.
Interpretação física:
  • Em regime estacionário não há acúmulo de carga localmente; o que entra em qualquer volume entra igual ao que sai.
  • \nabla\cdot\mathbf{J}=0 não implica \mathbf{J}=\mathbf{0}. Significa apenas que \mathbf{J} é solenoidal (sem fontes locais): por exemplo, correntes contínuas que fluem ao longo de fios formam linhas de corrente contínuas com mesmo fluxo através de seções transversais, e assim a divergência é nula.
  • Um caso onde \nabla\cdot\mathbf{J}\neq 0 seria um ponto onde carga está se acumulando ou se esgotando temporariamente (por exemplo, carregamento de um condensador durante um transiente). Em regime totalmente estacionário esse acúmulo/transiente cessa.

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{J} + \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0
Em regime de correntes estacionárias ( \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0): \nabla\cdot\mathbf{J}=0

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