- O Princípio da Conservação da Carga assegura que a matéria não cria nem destrói carga líquida. Partindo do equacionamento em forma integral (do fluxo saindo de um volume em relação à variação temporal da carga presa nele), aplique o Teorema da Divergência para derivar a forma diferencial da Equação da Continuidade. Discuta o que ela prevê no caso de um regime de correntes estacionárias.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) partir da forma integral da conservação de carga (fluxo de corrente saindo de um volume igual à variação temporal da carga no volume) e usar o Teorema da Divergência para obter a forma diferencial da equação da continuidade; (ii) discutir o que essa equação prevê no caso de correntes estacionárias.
As informações que o enunciado nos dá (escritas explicitamente):
onde:
-
é um volume fixo no espaço; -
é a superfície que limita ; -
é o elemento de área orientado para fora (vetor normal da superfície); -
é a densidade de corrente (vetor), função do ponto e do tempo; -
é a densidade volumétrica de carga (escalar), função do ponto e do tempo.
O objetivo é transformar essa equação integral numa equação pontual (diferencial) e discutir o caso estacionário.
Passo 2
Apresentar o Teorema da Divergência (Gauss). É uma ferramenta que liga um fluxo de um campo vetorial pela superfície ao comportamento do campo no interior do volume. O enunciado do teorema é:
para qualquer campo vetorial
suficientemente suave e para
qualquer volume com superfície bem comportada. Aqui
é a divergência de
, que mede localmente se o campo tem “fontes” (divergência positiva) ou “sumidouros” (divergência negativa).
No nosso caso vamos aplicar o teorema ao campo
.
Passo 3
Aplicar o Teorema da Divergência ao membro esquerdo da forma integral dada. Substituindo
obtemos:
Portanto a equação integral inicial se transforma em
Passo 4
Levar a derivada temporal para dentro da integral do lado direito. Isso é permitido porque estamos integrando sobre um volume
fixo (independente do tempo) e assumimos que
é diferenciável em
. Pelo teorema de Leibniz para integrais com domínio fixo:
Substituindo na equação do passo anterior:
Passo 5
Reescrever as duas integrais num só integrando:
Isto vale para qualquer volume
arbitrário no espaço.
Passo 6
Argumento clássico de que, se a integral de uma função sobre qualquer volume arbitrário é zero, então a própria função deve ser zero em cada ponto (assumindo regularidade suficiente). Assim obtemos a forma diferencial (pontual) da equação da continuidade:
Aqui explicando cada termo:
-
é a densidade de corrente elétrica: vetor cuja componente em uma direção dá a quantidade de carga que atravessa uma área perpendicular por unidade de tempo e por unidade de área. -
é a densidade volumétrica de carga: carga por unidade de volume num ponto. -
mede o “fluxo líquido por unidade de volume” saindo do ponto (se positivo, mais carga sai do que entra naquela vizinhança). -
é a taxa de variação temporal da carga naquele ponto.
A equação diz, localmente, que a taxa com que a carga diminui no ponto (
negativa) é igual ao fluxo líquido de corrente saindo desse ponto (
positivo), e vice‑versa: conservação de carga local.
Passo 7
Interpretação física e didática da equação da continuidade. Algumas notas importantes:
- A equação é uma declaração local da conservação de carga: a carga só pode mudar num ponto se houver um fluxo de carga entrando ou saindo.
- Se
num ponto, há saída líquida de carga (o volume perde carga); se , há acumulação de carga no volume.
Exemplo simples para fixar a ideia: numa barra longa com seção transversal
e corrente total
constante que atravessa qualquer seção, a densidade de corrente média é
(constante no espaço). Então
porque
não varia com a posição; isso corresponde a não haver acúmulo de carga ao longo da barra.
Passo 8
Caso de correntes estacionárias (regime estacionário). “Correntes estacionárias” significa que a distribuição de cargas não muda no tempo em cada ponto; em termos matemáticos:
Inserindo esse fato na equação da continuidade obtemos:
Interpretação física:
- Em regime estacionário não há acúmulo de carga localmente; o que entra em qualquer volume entra igual ao que sai.
-
não implica . Significa apenas que é solenoidal (sem fontes locais): por exemplo, correntes contínuas que fluem ao longo de fios formam linhas de corrente contínuas com mesmo fluxo através de seções transversais, e assim a divergência é nula. - Um caso onde
seria um ponto onde carga está se acumulando ou se esgotando temporariamente (por exemplo, carregamento de um condensador durante um transiente). Em regime totalmente estacionário esse acúmulo/transiente cessa.
Resposta
Em regime de correntes estacionárias (