Princípio da Identidade. Sejam
e
funções holomorfas num domínio
. Suponha que exista uma sequência
em
tal que
. Mostre que, se
, então
qualquer que seja
. (Sugestão: use o Teorema 2.15 do Capítulo 4 e um pouco de criatividade)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do Princípio da Identidade em funções holomorfas. A ideia é mostrar que se duas funções holomorfas $ f $ e $ g $ coincidirem em uma sequência que se aproxima de um ponto dentro do domínio $ U $, então essas duas funções são iguais em todo o domínio. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e o Teorema da Identidade (que provavelmente é o Teorema 2.15 do Capítulo 4 mencionado).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser holomorfa. Uma função $ f $ é holomorfa em $ U $ se ela é diferenciável em todos os pontos de $ U $, e essa diferenciabilidade é complexa, ou seja, satisfaz as condições de Cauchy-Riemann.
Passo 3
Agora, o Princípio da Identidade nos diz que se duas funções holomorfas coincidem em um conjunto que tem um ponto de acumulação dentro do domínio, então elas são iguais em todo o domínio. No nosso caso, a sequência $ \left(z_{n}\right) $ que converge para $ a \in U $ forma tal conjunto com o ponto de acumulação $ a $.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema da Identidade. Esse teorema afirma que se duas funções holomorfas coincidem em um conjunto que tem um ponto de acumulação dentro do domínio, então elas são iguais em todo o domínio. Aqui, nossa sequência $ \left(z_{n}\right) $ que converge para $ a $ garante que $ a $ é um ponto de acumulação.
Passo 5
Como $ f(z_{n}) = g(z_{n}) $ para todo $ n $, e $ z_{n} $ se aproxima de $ a $, isso significa que $ f $ e $ g $ coincidem em um conjunto que se aproxima de $ a $. Pelo Princípio da Identidade, isso implica que $ f(z) = g(z) $ para qualquer $ z \in U $.
Resposta
$ f(z) = g(z) $ para todo $ z \in U $.