Princípio da Identidade. Sejam f e g funções holomorfas num domínio U. Suponha que exista uma sequência (zn) em U tal que (zn) a in U. Mostre que, se f(zn)=g(zn) forall n, então f(z)=g(z) qualquer que seja z in U. (Sugestão: use o Teorema 2.15 do Capítulo 4 e um pouco de criatividade)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do Princípio da Identidade em funções holomorfas. A ideia é mostrar que se duas funções holomorfas $ f $ e $ g $ coincidirem em uma sequência que se aproxima de um ponto dentro do domínio $ U $, então essas duas funções são iguais em todo o domínio. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e o Teorema da Identidade (que provavelmente é o Teorema 2.15 do Capítulo 4 mencionado).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser holomorfa. Uma função $ f $ é holomorfa em $ U $ se ela é diferenciável em todos os pontos de $ U $, e essa diferenciabilidade é complexa, ou seja, satisfaz as condições de Cauchy-Riemann.

Passo 3

Agora, o Princípio da Identidade nos diz que se duas funções holomorfas coincidem em um conjunto que tem um ponto de acumulação dentro do domínio, então elas são iguais em todo o domínio. No nosso caso, a sequência $ \left(z_{n}\right) $ que converge para $ a \in U $ forma tal conjunto com o ponto de acumulação $ a $.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema da Identidade. Esse teorema afirma que se duas funções holomorfas coincidem em um conjunto que tem um ponto de acumulação dentro do domínio, então elas são iguais em todo o domínio. Aqui, nossa sequência $ \left(z_{n}\right) $ que converge para $ a $ garante que $ a $ é um ponto de acumulação.

Passo 5

Como $ f(z_{n}) = g(z_{n}) $ para todo $ n $, e $ z_{n} $ se aproxima de $ a $, isso significa que $ f $ e $ g $ coincidem em um conjunto que se aproxima de $ a $. Pelo Princípio da Identidade, isso implica que $ f(z) = g(z) $ para qualquer $ z \in U $.

Resposta

$ f(z) = g(z) $ para todo $ z \in U $.

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