Nos exercícios de 1 a 14 calcule
onde
e
são dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa $ f(z) = \frac{1}{z^{2} + 1} $ ao longo de um caminho
onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. Isso envolve conceitos de análise complexa, especialmente integrais de funções de variável complexa ao longo de curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função $ f(z) $ não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Olhando para $ f(z) = \frac{1}{z^{2} + 1} $, sabemos que essa função não está definida quando o denominador é zero:
Então, temos duas singularidades: $ z = i $ e $ z = -i $.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas singularidades estão dentro do caminho
. A curva
descreve um círculo de raio 2 centrado na origem no plano complexo. As singularidades $ z = i $ e $ z = -i $ têm módulo $ |i| = 1 $ e $ |-i| = 1 $, que são menores que 2. Portanto, ambas as singularidades estão dentro do caminho
.
Passo 4
Com as singularidades dentro do caminho, podemos usar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. Esse teorema nos diz que a integral de $ f(z) $ ao longo de
é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos de $ f(z) $ nas singularidades dentro de
:
Passo 5
Vamos calcular os resíduos de $ f(z) $ em $ z = i $ e $ z = -i $. Para funções da forma $ \frac{1}{(z - a)(z - b)} $, o resíduo em $ z = a $ é $ \frac{1}{a - b} $ e em $ z = b $ é $ \frac{1}{b - a} $.
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, somamos os resíduos:
Resposta
Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos:
Então, o valor da integral é 0.