Nos exercícios de 1 a 14 calcule integralgamma f(z) d z onde f e gamma são dados.
f(z)=1z^2+1 e gamma(t)=2 e^i t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa $ f(z) = \frac{1}{z^{2} + 1} $ ao longo de um caminho f(z) = 1z^2 + 1 onde $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. Isso envolve conceitos de análise complexa, especialmente integrais de funções de variável complexa ao longo de curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função $ f(z) $ não é analítica, ou seja, onde ela tem singularidades. Olhando para $ f(z) = \frac{1}{z^{2} + 1} $, sabemos que essa função não está definida quando o denominador é zero:
f(z)
Então, temos duas singularidades: $ z = i $ e $ z = -i $.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas singularidades estão dentro do caminho gamma. A curva gamma(t) = 2 e^it descreve um círculo de raio 2 centrado na origem no plano complexo. As singularidades $ z = i $ e $ z = -i $ têm módulo $ |i| = 1 $ e $ |-i| = 1 $, que são menores que 2. Portanto, ambas as singularidades estão dentro do caminho z = i .

Passo 4

Com as singularidades dentro do caminho, podemos usar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral. Esse teorema nos diz que a integral de $ f(z) $ ao longo de f(z) é igual a $ 2\pi i $ vezes a soma dos resíduos de $ f(z) $ nas singularidades dentro de gamma:
2pi i

Passo 5

Vamos calcular os resíduos de $ f(z) $ em $ z = i $ e $ z = -i $. Para funções da forma $ \frac{1}{(z - a)(z - b)} $, o resíduo em $ z = a $ é $ \frac{1}{a - b} $ e em $ z = b $ é $ \frac{1}{b - a} $.
Aplicando isso:
f(z)
z = i

Passo 6

Agora, somamos os resíduos:
Res(f, i) + Res(f, -i) = 12i - 12i = 0

Resposta

Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos:
integralgamma 1z^2 + 1 dz = 2pi i times 0 = 0
Então, o valor da integral é 0.

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