Seja
holomorfa para
e tal que
. Mostre que se
, então
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(z) $ que é holomorfa (ou seja, analítica) dentro do círculo unitário ($ |z| < 1 $). Além disso, sabemos que o módulo de $ f(z) $ é limitado por $ \frac{1}{1 - |z|} $. O nosso objetivo é mostrar que, para qualquer $ n \geq 1 $:
Vamos precisar usar alguns conceitos de análise complexa, especificamente sobre funções holomorfas e estimativas para suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser holomorfa. Uma função $ f(z) $ é holomorfa em um domínio se ela é diferenciável em todos os pontos desse domínio. Isso implica que podemos representar $ f(z) $ como uma série de potências dentro desse domínio.
Passo 3
Como $ f(z) $ é holomorfa em $ |z| < 1 $, podemos escrevê-la como uma série de Taylor centrada em 0:
onde $ a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} $.
Passo 4
Sabemos que $ |f(z)| \leq \frac{1}{1 - |z|} $ para $ |z| < 1 $. Vamos usar essa desigualdade para obter uma estimativa para os coeficientes $ a_n $.
Passo 5
Para isso, podemos usar a estimativa de Cauchy para os coeficientes da série de Taylor. A estimativa de Cauchy nos diz que:
onde $ 0 < r < 1 $ é o raio de um círculo no qual $ f(z) $ é analítica.
Passo 6
Aplicando a desigualdade dada $ |f(z)| \leq \frac{1}{1 - |z|} $ na estimativa de Cauchy, temos:
Passo 7
Nosso objetivo é encontrar o valor mínimo dessa expressão em relação a $ r $ para obter a melhor estimativa possível. Vamos considerar $ r = \frac{n}{n + 1} $, que é uma escolha comum para otimizar esse tipo de expressão.
Passo 8
Substituindo $ r = \frac{n}{n + 1} $ na expressão, obtemos:
Passo 9
Portanto, temos:
Passo 10
Sabemos que $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ é uma sequência que converge para $ e $ quando $ n $ tende ao infinito. Além disso, para todo $ n \geq 1 $:
Passo 11
Assim, podemos concluir que:
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer $ n \geq 1 $: