Seja f(z) holomorfa para |z|<1 e tal que |f(z)| <= 11-|z|. Mostre que se n >= 1, então
|f^(n)(0)n!| <=(n+1)(1+1n)^n<(n+1) e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(z) $ que é holomorfa (ou seja, analítica) dentro do círculo unitário ($ |z| < 1 $). Além disso, sabemos que o módulo de $ f(z) $ é limitado por $ \frac{1}{1 - |z|} $. O nosso objetivo é mostrar que, para qualquer $ n \geq 1 $:
f(z)
Vamos precisar usar alguns conceitos de análise complexa, especificamente sobre funções holomorfas e estimativas para suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser holomorfa. Uma função $ f(z) $ é holomorfa em um domínio se ela é diferenciável em todos os pontos desse domínio. Isso implica que podemos representar $ f(z) $ como uma série de potências dentro desse domínio.

Passo 3

Como $ f(z) $ é holomorfa em $ |z| < 1 $, podemos escrevê-la como uma série de Taylor centrada em 0:
f(z)
onde $ a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} $.

Passo 4

Sabemos que $ |f(z)| \leq \frac{1}{1 - |z|} $ para $ |z| < 1 $. Vamos usar essa desigualdade para obter uma estimativa para os coeficientes $ a_n $.

Passo 5

Para isso, podemos usar a estimativa de Cauchy para os coeficientes da série de Taylor. A estimativa de Cauchy nos diz que:
|an| <= max|z|=r |f(z)|r^n,
onde $ 0 < r < 1 $ é o raio de um círculo no qual $ f(z) $ é analítica.

Passo 6

Aplicando a desigualdade dada $ |f(z)| \leq \frac{1}{1 - |z|} $ na estimativa de Cauchy, temos:
|f(z)| <= 11 - |z|

Passo 7

Nosso objetivo é encontrar o valor mínimo dessa expressão em relação a $ r $ para obter a melhor estimativa possível. Vamos considerar $ r = \frac{n}{n + 1} $, que é uma escolha comum para otimizar esse tipo de expressão.

Passo 8

Substituindo $ r = \frac{n}{n + 1} $ na expressão, obtemos:
r = nn + 1

Passo 9

Portanto, temos:
|f^(n)(0)n!| = |an| <= (n + 1) (1 + 1n)^n

Passo 10

Sabemos que $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ é uma sequência que converge para $ e $ quando $ n $ tende ao infinito. Além disso, para todo $ n \geq 1 $:
(1 + 1n)^n

Passo 11

Assim, podemos concluir que:
|f^(n)(0)n!| <= (n + 1) e

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer $ n \geq 1 $:
n >= 1

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