O princípio de incerteza de Heisenberg impõe restrições à precisão com que se podem efetuar medidas simultâneas de uma classe de pares de observáveis canonicamente conjugadas. Para ficar mais claro, quando se quer encontrar a posição de um elétron, é necessário fazê-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, podemos incidir sobre ele algum tipo de radiação. Para determinar a posição do elétron, é necessário que a radiação tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posição. Em outras palavras, a incerteza de uma medida está relacionada com o tamanho da menor escala do instrumento que se utiliza. No caso da medida da posição do elétron acima, quanto menor for o comprimento de onda (maior frequência, lembre-se que v=c / \lambda ) maior é a precisão. Contudo, maior será a energia cedida pela radiação em virtude da relação de Planck entre energia e frequência da radiação E=h v, e o elétron sofrerá um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton (lembre-se que uma das premissas deste modelo é a conservação de momento linear). Um exemplo interessante da relação de incerteza relacionada com os observáveis canonicamente conjugados energia e tempo \Delta E \Delta t=\hbar / 2 é descrita por Lev Vaidman, em American Journal of Physics 60, 182 (1992). Neste caso, \Delta t=\tau / \pi, onde \tau é o tempo gasto para o estado \psi(x, t) evoluir para um estado ortogonal a \psi(x, 0). Faça um teste desta hipótese usando um estado que é uma mistura igual de estados estacionários ortogonais \psi_{1}(x) e \psi_{2}(x), ou seja, \psi(x, 0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\psi_{1}(x)+\psi_{2}(x)\right).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos testar a relação de incerteza tempo–energia
\Delta E\,\Delta t = \frac{\hbar}{2}
usando o estado
\psi(x,0)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\psi_1(x)+\psi_2(x)\bigr)
em que \psi_1 e \psi_2 são estados estacionários ortogonais de energias E_1 e E_2. Precisamos (i) achar o menor tempo \tau para que \psi(x,\tau) seja ortogonal a \psi(x,0), definir \Delta t=\tau/\pi, (ii) calcular \Delta E nesse estado e (iii) verificar se \Delta E\,\Delta t=\hbar/2.

Passo 2

A evolução temporal do estado é
\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(e^{-iE_1t/\hbar}\psi_1(x)+e^{-iE_2t/\hbar}\psi_2(x)\bigr).
O produto interno com o estado inicial é
\langle\psi(0)|\psi(t)\rangle =\frac12\bigl(e^{-iE_1t/\hbar}+e^{-iE_2t/\hbar}\bigr).
Para ortogonalidade impomos
e^{-iE_1\tau/\hbar}+e^{-iE_2\tau/\hbar}=0 \;\Longrightarrow\; e^{-i(E_2-E_1)\tau/\hbar}=-1 \;\Longrightarrow\; (E_2-E_1)\,\tau/\hbar=\pi,
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\tau=\frac{\pi\hbar}{E_2-E_1}.

Passo 3

Pela definição de Vaidman,
\Delta t=\frac{\tau}{\pi} =\frac{\hbar}{E_2-E_1}.

Passo 4

O desvio-padrão de energia neste estado é
\Delta E =\sqrt{\langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2},
com
\langle H\rangle=\frac{E_1+E_2}{2}, \qquad \langle H^2\rangle=\frac{E_1^2+E_2^2}{2}.
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\Delta E =\sqrt{\frac{E_1^2+E_2^2}{2}-\Bigl(\frac{E_1+E_2}{2}\Bigr)^2} =\frac{E_2-E_1}{2}.

Passo 5

Multiplicando \Delta E por \Delta t:
\Delta E\,\Delta t =\frac{E_2-E_1}{2}\;\cdot\;\frac{\hbar}{E_2-E_1} =\frac{\hbar}{2},
confirmando a relação de incerteza.

Resposta

A relação \Delta E\,\Delta t=\hbar/2 é satisfeita para o estado dado.

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