Vimos em sala de aula que um pacote formado por infinitas ondas sofre dispersão à medida que ele se propaga. Mostramos que quanto mais estreito for o pacote no início, mais rápido ele se alarga durante a propagação. Isso ocorre porque as ondas constituintes do pacote têm vetores de onda distintos, de modo que elas viajam com velocidades diferentes, semelhantemente ao que ocorre com as ondas eletromagnéticas se propagando na matéria. Verifique essas informações para o caso de um pacote de onda gaussiano que descreve uma partícula livre, calculando a mudança fracional na largura do pacote em 1 ms se:
0 pacote representa um objeto de massa
e tamanho de
.
0 pacote representa um objeto de massa
Passo 1
O enunciado fala de um pacote de onda gaussiano livre, com massa
e largura inicial
. Mostramos em aula que, para um pacote gaussiano, a largura em função do tempo é
Queremos a mudança fracional na largura em
, isto é,
Passo 2
Substituímos os valores dados:
Definimos
Passo 3
Calculamos
:
Passo 4
Como
, fazemos a expansão em série:
Logo,
Passo 5
Portanto, em
a largura do pacote muda por uma fração da ordem de
, ou seja, é totalmente desprezível nesse intervalo de tempo.
Resposta
A mudança fracional na largura em
é cerca de
.