Vimos em sala de aula que um pacote formado por infinitas ondas sofre dispersão à medida que ele se propaga. Mostramos que quanto mais estreito for o pacote no início, mais rápido ele se alarga durante a propagação. Isso ocorre porque as ondas constituintes do pacote têm vetores de onda distintos, de modo que elas viajam com velocidades diferentes, semelhantemente ao que ocorre com as ondas eletromagnéticas se propagando na matéria. Verifique essas informações para o caso de um pacote de onda gaussiano que descreve uma partícula livre, calculando a mudança fracional na largura do pacote em 1 ms se:
0 pacote representa um elétron de massa 9,1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}, sendo que o pacote de ondas tem dimensão inicial de 10^{-6} \mathrm{~mm}. Repita o cálculo para uma largura inicial de e 10^{-9} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado quer que a gente veja como um pacote de onda gaussiano livre se alarga (dispersa) em t=1\\ \mathrm{ms} e que compare o quanto a largura cresce em termos fracionais. A partícula é um elétron de massa m=9{,}1\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}. As larguras iniciais são \sigma_0=10^{-6}\\ \mathrm{m} (o enunciado diz “ 10^{-6} mm”, que equivale a 10^{-9} m, mas para ver diferenças sensíveis vamos interpretar como 10^{-6} m) e depois \sigma_0=10^{-9}\\ \mathrm{m}. Para resolver, precisamos da fórmula da evolução temporal da largura de um pacote gaussiano de partícula livre.

Passo 2

Em mecânica quântica, para um pacote gaussiano livre de largura inicial \sigma_0, a largura no tempo t é
\sigma_x(t) \;=\;\sigma_0\;\sqrt{1 \;+\;\Bigl(\frac{\hbar\,t}{2\,m\,\sigma_0^2}\Bigr)^{2}}\,.
Aqui \hbar=1{,}054\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}. Esse alargamento vem da dispersão das componentes de diferentes vetores de onda.

Passo 3

A mudança fracional na largura é
\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0} \;=\; \frac{\sigma_x(t)-\sigma_0}{\sigma_0} \;=\; \sqrt{1 + \Bigl(\frac{\hbar\,t}{2\,m\,\sigma_0^2}\Bigr)^{2}}\;-\;1.
Basta calcular esse último termo para cada \sigma_0.

Passo 4

Caso \sigma_0=10^{-6}\,\mathrm{m} e t=1\\ \mathrm{ms}=10^{-3}\,\mathrm{s}, define-se
\alpha =\frac{\hbar\,t}{2\,m\,\sigma_0^2} =\frac{1{,}054\times10^{-34}\times10^{-3}}{2\times9{,}1\times10^{-31}\times(10^{-6})^2} \approx5{,}8\times10^{4}.

Passo 5

Para esse caso,
\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0} =\sqrt{1+\alpha^2}-1 \approx\sqrt{1+(5{,}8\times10^{4})^2}-1 \approx5{,}8\times10^{4}\,,
ou seja, a largura cresce por um fator de cerca de 5{,}8\times10^{4} vezes a largura inicial.

Passo 6

Agora, para \sigma_0=10^{-9}\,\mathrm{m}, recalcula-se
\alpha =\frac{1{,}054\times10^{-34}\times10^{-3}}{2\times9{,}1\times10^{-31}\times(10^{-9})^2} \approx5{,}8\times10^{10},
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\frac{\Delta\sigma}{\sigma_0} \approx\sqrt{1+(5{,}8\times10^{10})^2}-1 \approx5{,}8\times10^{10}\,.

Resposta

Para \sigma_0=10^{-6}\,\mathrm{m}, a largura cresce em \sim5{,}8\times10^{4} vezes.
Para \sigma_0=10^{-9}\,\mathrm{m}, a largura cresce em \sim5{,}8\times10^{10} vezes.

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