A probabilidade de um aluno estudioso e com uma boa formação obter a pontuação no ENEM necessária para ser aprovado em Medicina na Universidade Federal de Minas Gerais é 0,05 . Considere que o aluno continua fazendo tentativas até ser aprovado. Considere também que, depois de aprovado, o aluno não faz novas tentativas.
a) Determine a probabilidade de um aluno com esse perfil ser aprovado em Medicina somente na
tentativa.
0,04512
b) Determine a probabilidade desse aluno ser aprovado em no máximo 3 tentativas. 0,1426
a) Determine a probabilidade de um aluno com esse perfil ser aprovado em Medicina somente na
b) Determine a probabilidade desse aluno ser aprovado em no máximo 3 tentativas. 0,1426
Passo 1
O enunciado nos dá que a probabilidade de aprovação em cada tentativa é
. O aluno repete as tentativas de forma independente até obter a primeira aprovação, e então para.
As perguntas são:
a) Qual é a probabilidade de o aluno ser aprovado somente na tentativa?
b) Qual é a probabilidade de o aluno ser aprovado em no máximo 3 tentativas (ou seja, até a 3ª tentativa)?
As perguntas são:
a) Qual é a probabilidade de o aluno ser aprovado somente na
b) Qual é a probabilidade de o aluno ser aprovado em no máximo 3 tentativas (ou seja, até a 3ª tentativa)?
Passo 2
Vamos modelar a situação com a variável aleatória
= número da tentativa em que ocorre a primeira aprovação. Como cada tentativa tem probabilidade de sucesso constante e as tentativas são independentes,
segue a distribuição geométrica (forma “número de tentativas até o primeiro sucesso”). A função massa de probabilidade dessa distribuição é:
onde
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa e
é o número da tentativa (
).
Explicação do porquê: para ter o primeiro sucesso exatamente na tentativa precisamos ter
fracassos seguidos e depois um sucesso; a probabilidade disso é
multiplicado por
.
Explicação do porquê: para ter o primeiro sucesso exatamente na tentativa
Passo 3
Identificamos
. Vamos definir
como a probabilidade de fracasso em uma tentativa isolada. Calculamos:
Passo 4
Calculemos a probabilidade pedida em (a): aprovação somente na
tentativa significa
. Aplicando a fórmula da distribuição geométrica com
:
Agora computamos passo a passo:
Arredondando para quatro casas decimais (como no enunciado dado), obtemos
.
Passo 5
Calculemos a probabilidade pedida em (b): aprovação em no máximo 3 tentativas é
. Podemos somar as probabilidades de
, ou usar o complemento (é mais prático):
Ter
significa fracassar nas três primeiras tentativas, cuja probabilidade é
. Logo
Calculando:
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos
.
Passo 6
Interpretação rápida: há cerca de
de chance de ele só conseguir na terceira tentativa, e cerca de
de chance de já ter conseguido até a terceira tentativa. Força aí — com prática desses passos você faz isso seguro na prova!
Resposta
(a)
(b)
(b)