A probabilidade de um aluno estudioso e com uma boa formação obter a pontuação no ENEM necessária para ser aprovado em Medicina na Universidade Federal de Minas Gerais é 0,05 . Considere que o aluno continua fazendo tentativas até ser aprovado. Considere também que, depois de aprovado, o aluno não faz novas tentativas.
a) Determine a probabilidade de um aluno com esse perfil ser aprovado em Medicina somente na 3^{\mathrm{a}} tentativa.
0,04512
b) Determine a probabilidade desse aluno ser aprovado em no máximo 3 tentativas. 0,1426

Passo 1

O enunciado nos dá que a probabilidade de aprovação em cada tentativa é \,0,05. O aluno repete as tentativas de forma independente até obter a primeira aprovação, e então para.
As perguntas são:
a) Qual é a probabilidade de o aluno ser aprovado somente na 3^{\mathrm{a}} tentativa?
b) Qual é a probabilidade de o aluno ser aprovado em no máximo 3 tentativas (ou seja, até a 3ª tentativa)?

Passo 2

Vamos modelar a situação com a variável aleatória X = número da tentativa em que ocorre a primeira aprovação. Como cada tentativa tem probabilidade de sucesso constante e as tentativas são independentes, X segue a distribuição geométrica (forma “número de tentativas até o primeiro sucesso”). A função massa de probabilidade dessa distribuição é:
P(X=k) = (1-p)^{k-1}\,p
onde p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa e k é o número da tentativa ( k=1,2,3,\dots ).
Explicação do porquê: para ter o primeiro sucesso exatamente na tentativa k precisamos ter k-1 fracassos seguidos e depois um sucesso; a probabilidade disso é (1-p)^{k-1} multiplicado por p.

Passo 3

Identificamos p=0,05. Vamos definir q=1-p como a probabilidade de fracasso em uma tentativa isolada. Calculamos:
q = 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95.

Passo 4

Calculemos a probabilidade pedida em (a): aprovação somente na 3^{\mathrm{a}} tentativa significa X=3. Aplicando a fórmula da distribuição geométrica com k=3:
P(X=3) = (1-p)^{2}\,p = q^{2}\,p = 0,95^{2}\cdot 0,05.
Agora computamos passo a passo:
0,95^{2} = 0,9025
0,9025\cdot 0,05 = 0,045125.
Arredondando para quatro casas decimais (como no enunciado dado), obtemos \,0,04512.

Passo 5

Calculemos a probabilidade pedida em (b): aprovação em no máximo 3 tentativas é P(X\le 3). Podemos somar as probabilidades de X=1,2,3, ou usar o complemento (é mais prático):
P(X\le 3) = 1 - P(X>3).
Ter X>3 significa fracassar nas três primeiras tentativas, cuja probabilidade é q^{3}. Logo
P(X\le 3) = 1 - q^{3} = 1 - 0,95^{3}.
Calculando:
0,95^{3} = 0,857375
1 - 0,857375 = 0,142625.
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos \,0,1426.

Passo 6

Interpretação rápida: há cerca de 4,512\% de chance de ele só conseguir na terceira tentativa, e cerca de 14,26\% de chance de já ter conseguido até a terceira tentativa. Força aí — com prática desses passos você faz isso seguro na prova!

Resposta

(a) 0,04512
(b) 0,1426

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