Qual a probabilidade de um aluno respondendo ao acaso, um teste de 5 questões, cada uma com 3 alternativas, uma das quais certa, acerte pelo menos uma?
Resp.:
ou
.
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que um aluno, respondendo ao acaso, acerte pelo menos uma questão num teste com as seguintes informações:
- O teste tem
questões. - Cada questão tem
alternativas, exatamente correta. - O aluno responde todas as questões ao acaso (ou seja, não tem informação que o favoreça).
- Pergunta: qual a probabilidade de o aluno acertar pelo menos uma questão?
Passo 2
Ideia principal (estratégia): é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar — isto é, a probabilidade de o aluno não acertar nenhuma questão — e depois subtrair de
. Isto vem da regra do complementar:
Explicando: “pelo menos 1” e “nenhum” são complementares, então somam
. Usar o complemento costuma simplificar porque calcular “nenhum acerto” é só multiplicar probabilidades de erros em todas as questões.
Passo 3
Probabilidade de acertar ou errar uma única questão:
- Como há
alternativa correta entre , a probabilidade de acertar uma questão é
- Logo, a probabilidade de errar uma questão é
Explicação curta: se você escolhe ao acaso entre
opções, só
te dá acerto.
Passo 4
Independência e regra do produto: como cada resposta é feita ao acaso e as questões são separadas, podemos considerar que os eventos “errar na questão 1”, “errar na questão 2”, … são independentes. Para eventos independentes, a probabilidade de todos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Exemplo simples: ao lançar duas moedas justas, a probabilidade de dar cara em ambas é
. Aqui usamos o mesmo raciocínio.
Passo 5
Calcular a probabilidade de errar todas as
questões:
Fazendo as potências:
Passo 6
Aplicar o complemento para obter a probabilidade de “pelo menos 1 acerto”:
Converter para porcentagem: primeiro a forma decimal
multiplicando por
obtemos a percentagem aproximada
que arredondando a uma casa decimal dá
.