Qual a probabilidade de um aluno respondendo ao acaso, um teste de 5 questões, cada uma com 3 alternativas, uma das quais certa, acerte pelo menos uma?
Resp.: 211 / 243 ou 86,8 \%.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que um aluno, respondendo ao acaso, acerte pelo menos uma questão num teste com as seguintes informações:
  • O teste tem 5 questões.
  • Cada questão tem 3 alternativas, exatamente 1 correta.
  • O aluno responde todas as questões ao acaso (ou seja, não tem informação que o favoreça).
  • Pergunta: qual a probabilidade de o aluno acertar pelo menos uma questão?

Passo 2

Ideia principal (estratégia): é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar — isto é, a probabilidade de o aluno não acertar nenhuma questão — e depois subtrair de 1. Isto vem da regra do complementar:
P(\text{pelo menos 1 acerto}) = 1 - P(\text{nenhum acerto}).
Explicando: “pelo menos 1” e “nenhum” são complementares, então somam 1. Usar o complemento costuma simplificar porque calcular “nenhum acerto” é só multiplicar probabilidades de erros em todas as questões.

Passo 3

Probabilidade de acertar ou errar uma única questão:
  • Como há 1 alternativa correta entre 3, a probabilidade de acertar uma questão é
P(\text{acertar 1 questão}) = \frac{1}{3}.ã
  • Logo, a probabilidade de errar uma questão é
P(\text{errar 1 questão}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.ã
Explicação curta: se você escolhe ao acaso entre 3 opções, só 1 te dá acerto.

Passo 4

Independência e regra do produto: como cada resposta é feita ao acaso e as questões são separadas, podemos considerar que os eventos “errar na questão 1”, “errar na questão 2”, … são independentes. Para eventos independentes, a probabilidade de todos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais. Exemplo simples: ao lançar duas moedas justas, a probabilidade de dar cara em ambas é 1/2 \times 1/2. Aqui usamos o mesmo raciocínio.

Passo 5

Calcular a probabilidade de errar todas as 5 questões:
P(\text{nenhum acerto}) = \left(\frac{2}{3}\right)^{5}.
Fazendo as potências:
\left(\frac{2}{3}\right)^{5} = \frac{2^{5}}{3^{5}} = \frac{32}{243}.

Passo 6

Aplicar o complemento para obter a probabilidade de “pelo menos 1 acerto”:
P(\text{pelo menos 1 acerto}) = 1 - \frac{32}{243} = \frac{243-32}{243} = \frac{211}{243}.
Converter para porcentagem: primeiro a forma decimal
\frac{211}{243} \approx 0,86829\ldots
multiplicando por 100 obtemos a percentagem aproximada
\approx 86,829\ldots\%,
que arredondando a uma casa decimal dá 86,8\%.

Resposta

\dfrac{211}{243} ou 86,8\%

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