PROBLEMAS PROPOSTOS

  1. Em uma urna contém 4 bolas brancas e 3 pretas. Numa outra urna contém 5 bolas brancas e 1 preta. Uma bola é retirada ao acaso da primeira urna e colocada na segunda urna. Retira-se também ao acaso uma bola da segunda urna. Qual a probabilidade de ela ser branca?
    Resp.: 39/49 ou 79,59 \%.

Passo 1

O enunciado dá duas urnas e descreve uma transferência seguida de uma nova retirada. Pergunta: qual a probabilidade de a bola retirada da segunda urna (após a transferência) ser branca?
Informações dadas:
  • Primeira urna: \,4 bolas brancas e \,3 bolas pretas (total \,7).
  • Segunda urna (antes da transferência): \,5 bolas brancas e \,1 bola preta (total \,6).
  • Procedimento: retira-se uma bola ao acaso da primeira urna e coloca-se essa bola na segunda urna; em seguida, retira-se ao acaso uma bola da segunda urna (já com a bola transferida).

Passo 2

Definimos eventos para organizar as probabilidades (isso ajuda a pensar claro na prova):
  • Seja A o evento “a bola transferida da primeira para a segunda urna é branca”.
  • Seja A^c o evento complementar “a bola transferida é preta”.
  • Seja B o evento “a bola retirada da segunda urna (após a transferência) é branca”.
    O que queremos é P(B), a probabilidade de B.

Passo 3

Calculemos as probabilidades de transferência (só depende da primeira urna). Como a retirada da primeira urna é aleatória e há \,4 brancas entre \,7 bolas:
P(A)=\frac{4}{7}.
E a probabilidade de transferir uma preta é
P(A^c)=\frac{3}{7}.

Passo 4

Agora calculemos as probabilidades condicionais de retirar uma branca da segunda urna dadas as duas possibilidades de transferência. Primeiro, se a bola transferida for branca ( A): a segunda urna passa a ter \,5+1=6 bolas brancas e \,1 preta, total \,7. Então
P(B\mid A)=\frac{6}{7}.
Expliquei: somamos a branca transferida ao total de brancas da segunda urna e dividimos pelo novo total ( 7).

Passo 5

Se a bola transferida for preta ( A^c): a segunda urna passa a ter \,5 brancas e \,1+1=2 pretas, total \,7. Então
P(B\mid A^c)=\frac{5}{7}.

Passo 6

Agora usamos a regra da probabilidade total (também chamada de teorema da probabilidade total). A ideia: B pode ocorrer em dois casos disjuntos (transferiu branca ou transferiu preta). Assim, somamos as probabilidades de B em cada ramo ponderadas pela probabilidade de cada ramo. Formalmente:
P(B)=P(A)\,P(B\mid A)+P(A^c)\,P(B\mid A^c).
Vou meter os números que já calculei.

Passo 7

Substituindo os valores:
P(B)=\frac{4}{7}\cdot\frac{6}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{5}{7}.
Faço a multiplicação dos numeradores e denominadores passo a passo:
\frac{4}{7}\cdot\frac{6}{7}=\frac{24}{49}, \qquad \frac{3}{7}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{49}.
Somando as frações (mesmo denominador \,49):
P(B)=\frac{24}{49}+\frac{15}{49}=\frac{39}{49}.

Passo 8

Convertemos para porcentagem para interpretar intuitivamente. Primeiro a divisão:
\frac{39}{49}\approx 0{,}795918\ldots
Multiplicando por 100\%:
P(B)\approx 79{,}5918\%\approx 79{,}59\% \quad(\text{arredondando duas casas decimais}).

Passo 9

Verificação rápida por argumento alternativo (checagem mental): podemos pensar em contar todos os casos ponderados por probabilidade — o cálculo feito é exatamente isso. Outra forma é enumerar probabilidades condicionais dos dois ramos e combinar; o resultado coincide, então o raciocínio está consistente.

Resposta

\dfrac{39}{49}
79{,}59\%

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