PROBLEMAS PROPOSTOS
- Em uma urna contém 4 bolas brancas e 3 pretas. Numa outra urna contém 5 bolas brancas e 1 preta. Uma bola é retirada ao acaso da primeira urna e colocada na segunda urna. Retira-se também ao acaso uma bola da segunda urna. Qual a probabilidade de ela ser branca?
Resp.: 39/49 ou
.
Resp.: 39/49 ou
Passo 1
O enunciado dá duas urnas e descreve uma transferência seguida de uma nova retirada. Pergunta: qual a probabilidade de a bola retirada da segunda urna (após a transferência) ser branca?
Informações dadas:
Informações dadas:
- Primeira urna:
bolas brancas e bolas pretas (total ). - Segunda urna (antes da transferência):
bolas brancas e bola preta (total ). - Procedimento: retira-se uma bola ao acaso da primeira urna e coloca-se essa bola na segunda urna; em seguida, retira-se ao acaso uma bola da segunda urna (já com a bola transferida).
Passo 2
Definimos eventos para organizar as probabilidades (isso ajuda a pensar claro na prova):
- Seja
o evento “a bola transferida da primeira para a segunda urna é branca”. - Seja
o evento complementar “a bola transferida é preta”. - Seja
o evento “a bola retirada da segunda urna (após a transferência) é branca”.
O que queremos é, a probabilidade de .
Passo 3
Calculemos as probabilidades de transferência (só depende da primeira urna). Como a retirada da primeira urna é aleatória e há
brancas entre
bolas:
E a probabilidade de transferir uma preta é
Passo 4
Agora calculemos as probabilidades condicionais de retirar uma branca da segunda urna dadas as duas possibilidades de transferência. Primeiro, se a bola transferida for branca (
): a segunda urna passa a ter
bolas brancas e
preta, total
. Então
Expliquei: somamos a branca transferida ao total de brancas da segunda urna e dividimos pelo novo total (
).
Passo 5
Se a bola transferida for preta (
): a segunda urna passa a ter
brancas e
pretas, total
. Então
Passo 6
Agora usamos a regra da probabilidade total (também chamada de teorema da probabilidade total). A ideia:
pode ocorrer em dois casos disjuntos (transferiu branca ou transferiu preta). Assim, somamos as probabilidades de
em cada ramo ponderadas pela probabilidade de cada ramo. Formalmente:
Vou meter os números que já calculei.
Passo 7
Substituindo os valores:
Faço a multiplicação dos numeradores e denominadores passo a passo:
Somando as frações (mesmo denominador
):
Passo 8
Convertemos para porcentagem para interpretar intuitivamente. Primeiro a divisão:
Multiplicando por
:
Passo 9
Verificação rápida por argumento alternativo (checagem mental): podemos pensar em contar todos os casos ponderados por probabilidade — o cálculo feito é exatamente isso. Outra forma é enumerar probabilidades condicionais dos dois ramos e combinar; o resultado coincide, então o raciocínio está consistente.