Questão 26.
(Paul Meyer) Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números.
a) Qual, será a probabilidade de que o produto seja um número positivo?
b) Dado que o produto é positvo qual a probabilidade de ter sido selecionado 4 números negativos?
a) Qual, será a probabilidade de que o produto seja um número positivo?
b) Dado que o produto é positvo qual a probabilidade de ter sido selecionado 4 números negativos?
Passo 1
O enunciado diz que temos
números positivos e
números negativos (total de
números). Escolhem-se ao acaso
desses
sem reposição e multiplica-se os quatro números escolhidos. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de o produto ser positivo?
b) Dado que o produto é positivo, qual a probabilidade de ter sido selecionado exatamente números negativos?
a) Qual a probabilidade de o produto ser positivo?
b) Dado que o produto é positivo, qual a probabilidade de ter sido selecionado exatamente
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Entender quando o produto de quatro números é positivo. Regras básicas (explico devagar):
- O produto de números reais é positivo se o número de fatores negativos for par (porque dois negativos multiplicam para positivo).
- Como estamos multiplicando exatamente
números, o número de negativos selecionados pode ser ou . - Portanto, o produto será positivo exatamente quando o número de negativos escolhidos for
, ou .
Passo 3
Contagem total de formas possíveis de escolher
números dentre
. Usamos combinações porque a ordem não importa. Lembrete da fórmula de combinação:
onde
(fatorial) é
. Assim o número total de escolhas é
Calculemos
. Uma forma prática:
Passo 4
Contar as formas favoráveis em que há exatamente
negativos (ou seja,
positivos). Para isso escolhemos
dos
positivos e
dos
negativos:
Calcule
. Como
,
E
. Logo há
formas desse tipo.
Passo 5
Contar as formas favoráveis em que há exatamente
negativos (e
positivos). Escolhemos
dos
negativos e
dos
positivos:
Calculemos:
Multiplicando:
Portanto há
formas com exatamente
negativos.
Passo 6
Contar as formas favoráveis em que há exatamente
negativos (e
positivos). Escolhemos
dos
negativos:
Calcule:
Passo 7
Somar todas as formas favoráveis (casos com
,
ou
negativos):
A probabilidade pedida em (a) é o número de casos favoráveis dividido pelo total:
Podemos dar também uma aproximação decimal se quiser:
. A fração
já está irredutível.
Passo 8
Agora a parte (b): probabilidade condicional. Queremos
A definição de probabilidade condicional é
Aqui
e
. Note que se
ocorre (ou seja, selecionamos 4 negativos) então o produto é positivo, logo
e
. Portanto
Passo 9
Calcule
. Já contamos que há
formas de escolher 4 negativos, então
Usando a probabilidade de (a)
, obtemos
Simplificando dividindo por
,
Resposta
a)
b)
b)