Questão 26.

(Paul Meyer) Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números (sem reposição) e multiplicam-se esses números.
a) Qual, será a probabilidade de que o produto seja um número positivo?
b) Dado que o produto é positvo qual a probabilidade de ter sido selecionado 4 números negativos?

Passo 1

O enunciado diz que temos 6 números positivos e 8 números negativos (total de 14 números). Escolhem-se ao acaso 4 desses 14 sem reposição e multiplica-se os quatro números escolhidos. As perguntas são:
a) Qual a probabilidade de o produto ser positivo?
b) Dado que o produto é positivo, qual a probabilidade de ter sido selecionado exatamente 4 números negativos?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{números positivos} = 6,\qquad \text{números negativos} = 8,\qquad \text{total} = 14,\qquad \text{tamanho da amostra} = 4.úú

Passo 2

Entender quando o produto de quatro números é positivo. Regras básicas (explico devagar):
  • O produto de números reais é positivo se o número de fatores negativos for par (porque dois negativos multiplicam para positivo).
  • Como estamos multiplicando exatamente 4 números, o número de negativos selecionados pode ser 0,1,2,3 ou 4.
  • Portanto, o produto será positivo exatamente quando o número de negativos escolhidos for 0, 2 ou 4.

Passo 3

Contagem total de formas possíveis de escolher 4 números dentre 14. Usamos combinações porque a ordem não importa. Lembrete da fórmula de combinação:
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\times(n-1)\times\cdots\times1. Assim o número total de escolhas é
\binom{14}{4}.
Calculemos \binom{14}{4}. Uma forma prática:
\binom{14}{4}=\frac{14\cdot13\cdot12\cdot11}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=1001.

Passo 4

Contar as formas favoráveis em que há exatamente 0 negativos (ou seja, 4 positivos). Para isso escolhemos 4 dos 6 positivos e 0 dos 8 negativos:
\text{casos }0\text{ negativos}=\binom{6}{4}\binom{8}{0}.
Calcule \binom{6}{4}. Como \binom{6}{4}=\binom{6}{2},
\binom{6}{4}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}=15.
E \binom{8}{0}=1. Logo há 15 formas desse tipo.

Passo 5

Contar as formas favoráveis em que há exatamente 2 negativos (e 2 positivos). Escolhemos 2 dos 8 negativos e 2 dos 6 positivos:
\text{casos }2\text{ negativos}=\binom{8}{2}\binom{6}{2}.
Calculemos:
\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28,\qquad \binom{6}{2}=\frac{6\cdot5}{2}=15.
Multiplicando:
28\cdot15=420.
Portanto há 420 formas com exatamente 2 negativos.

Passo 6

Contar as formas favoráveis em que há exatamente 4 negativos (e 0 positivos). Escolhemos 4 dos 8 negativos:
\text{casos }4\text{ negativos}=\binom{8}{4}.
Calcule:
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=70.

Passo 7

Somar todas as formas favoráveis (casos com 0, 2 ou 4 negativos):
\text{favoráveis}=15 + 420 + 70 = 505.á
A probabilidade pedida em (a) é o número de casos favoráveis dividido pelo total:
\Pr(\text{produto positivo})=\frac{505}{1001}.
Podemos dar também uma aproximação decimal se quiser: \approx 0,5045. A fração \dfrac{505}{1001} já está irredutível.

Passo 8

Agora a parte (b): probabilidade condicional. Queremos
\Pr(\text{4 negativos}\mid \text{produto positivo}).
A definição de probabilidade condicional é
\Pr(A\mid B)=\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(B)}.
Aqui A=\{\text{4 negativos}\} e B=\{\text{produto positivo}\}. Note que se A ocorre (ou seja, selecionamos 4 negativos) então o produto é positivo, logo A\subset B e A\cap B = A. Portanto
\Pr(\text{4 negativos}\mid \text{produto positivo})=\frac{\Pr(\text{4 negativos})}{\Pr(\text{produto positivo})}.

Passo 9

Calcule \Pr(\text{4 negativos}). Já contamos que há \binom{8}{4}=70 formas de escolher 4 negativos, então
\Pr(\text{4 negativos})=\frac{70}{1001}.
Usando a probabilidade de (a) \Pr(\text{produto positivo})=\dfrac{505}{1001}, obtemos
\Pr(\text{4 negativos}\mid \text{produto positivo})=\frac{\dfrac{70}{1001}}{\dfrac{505}{1001}}=\frac{70}{505}.
Simplificando dividindo por 5,
\frac{70}{505}=\frac{14}{101}.

Resposta

a) \dfrac{505}{1001}
b) \dfrac{14}{101}

Exercícios relacionados