A probabilidade de um arqueiro acertar o alvo com uma única flecha é de 0,20 . Lançam-se 30 flechas no alvo. Qual a probabilidade de que:
a) Exatamente 4 acertem o alvo? (R: 0,1325 )
b) Pelo menos 3 acertem o alvo? (R: 0,95582)

Passo 1

O enunciado diz que a probabilidade de acerto em cada flecha é de 0,20 e são lançadas 30 flechas. Definimos a variável aleatória X\sim \mathrm{Binomial}(n=30,\;p=0,20), que conta o número de acertos em 30 tentativas.

Passo 2

Para o item (a) queremos
\Pr(X=4)=\binom{30}{4}\,(0,20)^{4}\,(0,80)^{26}.
Sabendo que \binom{30}{4}=27\,405, (0,20)^{4}=0,0016 e (0,80)^{26}\approx0,00302, obtemos
\Pr(X=4)\approx 27\,405\times0,0016\times0,00302 \approx 0,1325.

Passo 3

Para o item (b) calculamos
\Pr(X\ge3)=1-\Pr(X\le2) =1-\bigl[\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)\bigr].
Calculamos separadamente:
\Pr(X=0)=(0,80)^{30}\approx0,00124,
\Pr(X=1)=\binom{30}{1}\,(0,20)^{1}\,(0,80)^{29} =30\times0,20\times(0,80)^{29}\approx0,00928,
\Pr(X=2)=\binom{30}{2}\,(0,20)^{2}\,(0,80)^{28} =435\times0,04\times(0,80)^{28}\approx0,03365.
Somando esses três casos:
\Pr(X\le2)\approx0,00124+0,00928+0,03365=0,04417,
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\Pr(X\ge3)\approx1-0,04417=0,95583\approx0,95582.

Resposta

(a) 0,1325
(b) 0,95582

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