O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade é dada pela seguinte expressão:
a) Verifique qua a função acima é, de fato, uma densidade.
b) Qual é a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca de amortecedores antes de 1 ano de uso? e entre 1 a 3 anos?
c) Qual o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?
Passo 1
A questão nos dá uma variável contínua X\), que mede em anos o tempo até a troca de um amortecedor, com densidade
\[f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4}\,x, & 0 \le x \le 2,\\[6pt] \frac{1}{8}, & 2 < x \le 6,\\[3pt] 0, &\text{c.c.} \end{cases}
e pede:
• (a) verificar que isso é, de fato, uma densidade;
• (b) calcular P(X<1)\] e \(P(1\le X\le3);
• (c) encontrar a média \mathbb{E}[X].]
Passo 2
Para ser densidade precisamos de f(x)\ge0 (claro) e
a) A função é não-negativa e integra 1, logo é densidade.
b) P(X<1)=\tfrac{1}{8} e P(1\le X\le3)=\tfrac{1}{2}.
c) O tempo médio é \mathbb{E}[X]=\tfrac{8}{3} anos.