O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade é dada pela seguinte expressão:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{4} x, \quad 0 \leq x \leq 2 \\\ \frac{1}{8}, \quad 2<x \leq 6 \\\\ 0, \quad \text { c.c. } \end{array}\right.
a) Verifique qua a função acima é, de fato, uma densidade.
b) Qual é a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca de amortecedores antes de 1 ano de uso? e entre 1 a 3 anos?
c) Qual o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?

Passo 1

A questão nos dá uma variável contínua X\), que mede em anos o tempo até a troca de um amortecedor, com densidade \[f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4}\,x, & 0 \le x \le 2,\\[6pt] \frac{1}{8}, & 2 < x \le 6,\\[3pt] 0, &\text{c.c.} \end{cases}
e pede:
• (a) verificar que isso é, de fato, uma densidade;
• (b) calcular P(X<1)\] e \(P(1\le X\le3);
• (c) encontrar a média \mathbb{E}[X].]

Passo 2

Para ser densidade precisamos de f(x)\ge0 (claro) e
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx =\int_{0}^{2}\frac{1}{4}x\,dx +\int_{2}^{6}\frac{1}{8}\,dx.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{2}\frac{1}{4}x\,dx =\frac{1}{4}\,\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} =\frac{1}{4}\,\frac{4}{2} =\frac{1}{2},
\int_{2}^{6}\frac{1}{8}\,dx =\frac{1}{8}(6-2) =\frac{4}{8} =\frac{1}{2}.
Somando dá \tfrac12+\tfrac12=1. Logo, é uma densidade válida.

Passo 3

Para P(X<1) usamos
P(X<1)=\int_{0}^{1}\frac{1}{4}x\,dx =\frac{1}{4}\,\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{8}.

Passo 4

Para P(1\le X\le3) dividimos em dois trechos, pois a densidade muda em x=2:
P(1\le X\le3) =\int_{1}^{2}\frac{1}{4}x\,dx +\int_{2}^{3}\frac{1}{8}\,dx.
Calculando:
\int_{1}^{2}\frac{1}{4}x\,dx =\frac{1}{4}\,\frac{x^{2}}{2}\Big|_{1}^{2} =\frac{1}{4}\bigl(2-\tfrac12\bigr) =\frac{3}{8},
\int_{2}^{3}\frac{1}{8}\,dx =\frac{1}{8}(3-2) =\frac{1}{8}.
Portanto
P(1\le X\le3) =\frac{3}{8}+\frac{1}{8} =\frac{1}{2}.

Passo 5

A média é
\mathbb{E}[X] =\int_{0}^{2}x\cdot\frac{1}{4}x\,dx +\int_{2}^{6}x\cdot\frac{1}{8}\,dx.
Calculemos cada integral:
\int_{0}^{2}\frac{x^{2}}{4}\,dx =\frac{1}{4}\,\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} =\frac{1}{4}\,\frac{8}{3} =\frac{2}{3},
\int_{2}^{6}\frac{x}{8}\,dx =\frac{1}{8}\,\frac{x^{2}}{2}\Big|_{2}^{6} =\frac{1}{16}(36-4) =\frac{32}{16} =2.
Somando,
\mathbb{E}[X] =\frac{2}{3}+2 =\frac{8}{3}\approx2{,}67\text{ anos}.

Resposta

a) A função é não-negativa e integra 1, logo é densidade.
b) P(X<1)=\tfrac{1}{8} e P(1\le X\le3)=\tfrac{1}{2}.
c) O tempo médio é \mathbb{E}[X]=\tfrac{8}{3} anos.

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