O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada a seguir:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1 / 4, \quad \text { se } 0 \leq x<2 \\\\ 1 / 8, \quad \text { se } 2 \leq x<6 \\\\ 0, \quad \text { caso contrário } \end{array}\right.á
Determine:
O valor esperado e a variância de X .(E(X)=2,5 e \operatorname{Var}(X)=3,08)

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória contínua X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4},&0\le x<2,\\[6pt] \frac{1}{8},&2\le x<6,\\[4pt] 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede o valor esperado \mathbb{E}(X)\] e a variância \(\operatorname{Var}(X). Para isso vamos usar as fórmulas
\mathbb{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx \quad\text{e}\quad \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}(X^2)-\bigl[\mathbb{E}(X)\bigr]^2.]

Passo 2

Escrevemos \mathbb{E}(X) dividindo a integral nos dois intervalos onde f é não nula:
\mathbb{E}(X) =\int_{0}^{2}x\cdot\frac{1}{4}\,dx +\int_{2}^{6}x\cdot\frac{1}{8}\,dx.

Passo 3

Calculamos cada integral:
\int_{0}^{2}x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{2}=2, \quad \int_{2}^{6}x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{2}^{6}=\frac{36-4}{2}=16.
Logo
\mathbb{E}(X) =\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot16 =\frac{2}{4}+\frac{16}{8} =\frac{1}{2}+2 =\frac{5}{2}=2,5.

Passo 4

Para obter \mathbb{E}(X^2) fazemos similarmente
\mathbb{E}(X^2) =\int_{0}^{2}x^2\cdot\frac{1}{4}\,dx +\int_{2}^{6}x^2\cdot\frac{1}{8}\,dx.

Passo 5

Avaliaremos as integrais:
\int_{0}^{2}x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{2} =\frac{8}{3}, \quad \int_{2}^{6}x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_{2}^{6} =\frac{216-8}{3}=\frac{208}{3}.
Assim
\mathbb{E}(X^2) =\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{3} +\frac{1}{8}\cdot\frac{208}{3} =\frac{2}{3}+\frac{26}{3} =\frac{28}{3}\approx9,333.
E então a variância é
\operatorname{Var}(X) =\mathbb{E}(X^2)-\bigl[\mathbb{E}(X)\bigr]^2 =\frac{28}{3}-\Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^2 =\frac{28}{3}-\frac{25}{4} =\frac{112-75}{12} =\frac{37}{12}\approx3,08.

Resposta

\mathbb{E}(X)=2,5 \displaystyle \operatorname{Var}(X)=\frac{37}{12}\approx3,08

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