A probabilidade atual de uma pessoa viver além dos 70 anos é de 30 % ou 0,3. De um grupo de 5 amigos, todos com 60 anos, qual é a chance de 4 deles ultrapassarem os 70 anos?

Passo 1

Vamos lá! Você tem um grupo de 5 amigos, todos com 60 anos, e sabemos que a chance de cada um viver além dos 70 anos é de 30%, ou seja, 0,3. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de exatamente 4 desses amigos atingirem essa idade. Vamos usar para isso o conceito de Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades em situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes que precisamos para aplicar a fórmula da Distribuição Binomial:
  • n: o número total de tentativas (neste caso, o número de amigos), que é 5.
  • k: o número de sucessos desejados (número de amigos que querem viver além dos 70 anos), que é 4.
  • p: a probabilidade de sucesso em cada tentativa individual, que é 0,3.

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é a seguinte:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p^k representa a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos desejados.
  • (1-p)^n-k representa a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente Binomial:
    binom54 = 5!4!(5-4)! = 5!4! times 1! = 5 times 4!4! times 1 = 5
  2. Probabilidade de Sucesso:
    p^k = 0,3^4 = 0,0081
  3. Probabilidade de Fracasso:
    (1-p)^n-k = (1-0,3)^5-4 = 0,7^1 = 0,7

Passo 5

Agora, vamos multiplicar todos esses valores para encontrar a probabilidade desejada:
P(4) = 5 times 0,0081 times 0,7 = 5 times 0,00567 = 0,02835

Resposta

A chance de exatamente 4 dos 5 amigos ultrapassarem os 70 anos é de aproximadamente 2,835%.

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