A probabilidade de que a construção de um prédio termine a tempo é 17 / 20, a probabilidade de que não haja greve é de 3 / 4, a probabilidade de que a construção termine a tempo dado que não houve greve é 14/15 e a probabilidade de que haja greve e a construção não termine a tempo é 1 / 10. Qual é a probabilidade de que?
a) A construção termine a tempo e não haja greve?
b) Não haja greve dado que a construção terminou a tempo?
c) A construção não termine a tempo se houve greve?
d) A construção não termine a tempo se não houve greve?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. Defino os eventos:
  • T: “a construção termina a tempo”.
  • N: “não há greve” (logo G será o evento “há greve”, complementar de N).
Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
  • P(T)=\dfrac{17}{20}.
  • P(N)=\dfrac{3}{4}.
  • P(T\mid N)=\dfrac{14}{15}.
  • P(G\cap T^c)=\dfrac{1}{10}, isto é, “há greve e a construção não termina a tempo” tem probabilidade \dfrac{1}{10}.
O enunciado pede:
a) P(T\cap N) — probabilidade de terminar a tempo e não haver greve.
b) P(N\mid T) — probabilidade de não haver greve dado que terminou a tempo.
c) P(T^c\mid G) — probabilidade de não terminar a tempo se houve greve.
d) P(T^c\mid N) — probabilidade de não terminar a tempo se não houve greve.

Passo 2

Relembre (fórmulas e conceitos necessários; explico devagarinho):
  • Definição de probabilidade condicional: para dois eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Isto significa: a probabilidade de A sabendo B é a fração da probabilidade onde ambos ocorrem pela probabilidade de B acontecer.
  • Regra de multiplicação (consequência acima):
P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B).
Usamos isso quando nos dão P(A\mid B) e P(B) e queremos P(A\cap B).
  • Complemento: P(A^c)=1-P(A). Para condicionales, P(A^c\mid B)=1-P(A\mid B).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo aos dados do enunciado.

Passo 3

Usamos a regra de multiplicação com A=T e B=N:
P(T\cap N)=P(T\mid N)\,P(N).
Substituindo os valores dados:
P(T\cap N)=\frac{14}{15}\cdot\frac{3}{4}.
Faço a multiplicação e simplificação em passos:
\frac{14}{15}\cdot\frac{3}{4}=\frac{14\cdot 3}{15\cdot 4}=\frac{42}{60}.
Agora simplifico \dfrac{42}{60}: divido numerador e denominador por 6,
\frac{42}{60}=\frac{7}{10}.
Portanto P(T\cap N)=\dfrac{7}{10}.

Passo 4

Pela definição de condicional:
P(N\mid T)=\frac{P(N\cap T)}{P(T)}.
Já calculamos P(N\cap T)=\dfrac{7}{10} e sabemos P(T)=\dfrac{17}{20}. Então
P(N\mid T)=\frac{\tfrac{7}{10}}{\tfrac{17}{20}}.
Para dividir frações, multiplica-se pelo inverso:
P(N\mid T)=\frac{7}{10}\cdot\frac{20}{17}=\frac{7\cdot 20}{10\cdot 17}.
Simplifico 20/10=2, então
P(N\mid T)=\frac{7\cdot 2}{17}=\frac{14}{17}.

Passo 5

Primeiro obtenho P(G). Como G é o complementar de N,
P(G)=1-P(N)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.
O enunciado já nos deu P(G\cap T^c)=\dfrac{1}{10}. Então, pela definição de condicional,
P(T^c\mid G)=\frac{P(G\cap T^c)}{P(G)}=\frac{\tfrac{1}{10}}{\tfrac{1}{4}}.
Divido as frações:
P(T^c\mid G)=\frac{1}{10}\cdot\frac{4}{1}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.

Passo 6

Há duas formas; uso a mais direta: P(T^c\mid N)=1-P(T\mid N). Como P(T\mid N)=\dfrac{14}{15},
P(T^c\mid N)=1-\frac{14}{15}=\frac{1}{15}.
Se preferir, pode-se também calcular P(T^c\cap N)=P(N)-P(T\cap N)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{10} e dividir por P(N)=\dfrac{3}{4}; dá o mesmo resultado \dfrac{1}{15}.

Passo 7

Uma checagem rápida para ver consistência: P(T)=P(T\cap N)+P(T\cap G). Calculando P(T\cap G)=P(T)-P(T\cap N)=\dfrac{17}{20}-\dfrac{7}{10}=\dfrac{17}{20}-\dfrac{14}{20}=\dfrac{3}{20}. Então P(G)=P(T\cap G)+P(T^c\cap G)=\dfrac{3}{20}+\dfrac{2}{20}=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}, que bate com a obtenção anterior — tudo consistente. Força aí, você já domina esse tipo de conta!

Resposta

(a) \dfrac{7}{10}
(b) \dfrac{14}{17}
(c) \dfrac{2}{5}
(d) \dfrac{1}{15}

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