1. Alturas dos homens A altura média dos homens nos Estados Unidos (com idades entre 20 e 29 anos) é de 69,6 polegadas. Uma amostra aleatória de 60 homens dessa faixa etária é selecionada. Qual é a probabilidade que a altura média dessa amostra seja maior que 70 polegadas? Suponha que σ=3,0 polegadas. (Fonte: National Center for Health Statistics.)

Passo 1

O enunciado diz que a altura média dos homens de 20–29 anos nos EUA é \mu = 69,6 polegadas e que o desvio-padrão populacional é \sigma = 3,0 polegadas. Selecionamos uma amostra aleatória de tamanho n=60 e queremos a probabilidade de a média amostral \bar x exceder 70 polegadas. Para isso, vamos aplicar o Teorema do Limite Central, que garante distribuição aproximadamente normal para \bar x quando n é grande.

Passo 2

Pelo Teorema do Limite Central, a média amostral \bar x é aproximadamente normal com
\text{média }=\mu_{\bar x}=\mu=69,6é
e
\text{desvio-padrão }=\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3,0}{\sqrt{60}}.ã

Passo 3

Calculemos o erro-padrão da média:
\sigma_{\bar x}=\frac{3,0}{\sqrt{60}}\approx\frac{3,0}{7,746}\approx0,3873.
Em seguida, transformamos o evento \bar x>70 em um valor-z:
Z=\frac{\bar x-\mu_{\bar x}}{\sigma_{\bar x}} =\frac{70 - 69,6}{0,3873} \approx1,0328.

Passo 4

A probabilidade desejada é
P(\bar x>70)=P\bigl(Z>1,0328\bigr) =1 - \Phi(1,0328),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Consulting uma tabela ou software, \Phi(1,0328)\approx0,849. Logo,
P(\bar x>70)\approx1 - 0,849 = 0,151.

Resposta

A probabilidade de a média da amostra ser maior que 70 polegadas é aproximadamente 0,15.

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