Uma amostra de cinqüenta peças produzidas por uma máquina forneceu a distribuição de comprimentos das peças dada a seguir (valores em milimetros). A especificação de produçāo indica que as peças tēm comprimento médio 500 mm e que o comprimento se distribui normalmente em torno dessa média. Ao nível de 5 \% de significância, concordamos ou discordamos dessa especificação? As peças foram medidas com precisão de centésimos de milímetro.
Comprimentos Frequèncias
480-485 1
485-490 5
490-495 11
495-500 14
500-505 9
505-510 5
510-515 4
515-520 1
50

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra agrupada de n=50 peças com comprimentos em classes de 5 mm, e a especificação diz que o comprimento segue distribuição normal com média \mu=500 mm (desconhecemos o desvio‐padrão \sigma). Vamos testar, ao nível de significância de 5\%, se os dados são compatíveis com \mathrm{N}(500,\sigma^2). Usaremos o teste qui‐quadrado de aderência, estimando \sigma pela amostra.

Passo 2

Estimamos a média e o desvio‐padrão pela fórmula de variância para dados agrupados. Tomando os pontos médios x_i de cada classe e as frequências f_i, temos
\bar x = \frac{1}{50}\sum_i f_i\,x_i = \frac{24930}{50}=498{,}6\text{ mm},
S^2 = \frac{1}{50-1}\sum_i f_i\,(x_i-\bar x)^2 =\frac{2964{,}5}{49}\approx60{,}50\quad\Longrightarrow\quad S\approx7{,}78\text{ mm}.
Sob H_0: os comprimentos seguem \mathrm{N}(500,\sigma^2), com \sigma desconhecido. Estimamos \sigma por S. Para cada classe [a,b) calculamos
p = \Phi\Bigl(\frac{b-500}{S}\Bigr)-\Phi\Bigl(\frac{a-500}{S}\Bigr), \quad E = 50\,p.
Em seguida agrupamos classes para garantir E\ge5.

Passo 3

As probabilidades e esperados aproximados originais são
Classe | [480,485) | [485,490) | [490,495) | [495,500) | [500,505) | [505,510) | [510,515) | [515,520)
Probabilidade p | 0,0217 | 0,0722 | 0,1610 | 0,2400 | 0,2390 | 0,1617 | 0,0725 | 0,0217
Esperado E=50p | 1,085 | 3,61 | 8,05 | 12,00 | 11,95 | 8,08 | 3,63 | 1,085
Para atender à recomendação E\ge5, agrupamos: \,[480,495), [495,500), [500,505), [505,520).
Passamos então aos totais:
Classe agrupada | Observado O | Esperado E [480,495) | 1+5+11=17 | 1{,} 085+3{,} 61+8{,} 05=12{,}745 [495,500) | 14 | 12{,}00 [500,505) | 9 | 11{,}95 [505,520) | 5+4+1=10 | 8{,} 08+3{,} 63+1{,} 085=12{,}795

Passo 4

Calculamos o qui‐quadrado
\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E} =\frac{(17-12{,}745)^2}{12{,}745} +\frac{(14-12{,}00)^2}{12{,}00} +\frac{(9-11{,}95)^2}{11{,}95} +\frac{(10-12{,}795)^2}{12{,}795} \approx3{,}09.
O número de classes finais é k=4, estimamos 2 parâmetros \mu e \sigma, logo os graus de liberdade são
\nu = k - 1 - 2 = 1.
O valor crítico para \chi^2_{0{,}05;1} é 3{,}841.
Como \chi^2_{\text{obs}}=3{,}09<3{,}841, não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.

Resposta

Não rejeitamos a especificação; os dados são compatíveis com \mathrm{N}(500,\sigma^2) ao nível de 5\%.

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