Calcule sumk=0^n(k+1) Cn^k.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
sumk=0^n(k+1)binomnk
O conteúdo aqui é o teorema binomial e identidades de soma de coeficientes binomiais: em particular usaremos
sumk=0^nbinomnk=2^n
e
sumk=0^nk,binomnk=n,2^n-1.

Passo 2

Separe a soma em duas partes:
sumk=0^n(k+1)binomnk =sumk=0^nk,binomnk +sumk=0^nbinomnk
Pela identidade do binômio de Newton,
sumk=0^nbinomnk=2^n

Passo 3

Para a soma com k, use o truque da derivada do binômio:
(1+x)^n=sumk=0^nbinomnkx^k Longrightarrow ddx(1+x)^n =n(1+x)^n-1 =sumk=0^nk,binomnkx^,k-1
Tomando x=1 obtemos
sumk=0^nk,binomnk =ncdot2^,n-1

Passo 4

Combine os resultados:
sumk=0^n(k+1)binomnk =n,2^,n-1+2^n =2^,n-1l(n+2r)

Resposta

sumk=0^n(k+1)binomnk =2^,n-1(n+2)

Exercícios de Livros Relacionados