Calcule o valor da soma

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = sumk=0^n-2 binomnk,binomnk+2
O conteúdo aqui é combinatória de binômios e vamos usar duas ferramentas principais:
  1. A simetria do coeficiente binomial binomnr = binomnn-r.
  2. A identidade de Vandermonde
sumi=0^r binomni,binommr-i ;=;binomn+mr

Passo 2

Usamos a simetria do binomial para reescrever o segundo fator:
binomnk+2 = binomn,n-(k+2), = binomn,n-k-2,
Assim
S = sumk=0^n-2 binomnk,binomnn-k-2

Passo 3

Fazendo a mudança de índice i=k, a soma fica
S = sumi=0^n-2 binomni,binomn(n-2)-i
Agora é exatamente o caso da identidade de Vandermonde com m=n e r=n-2, logo
S = binomn+n,n-2, = binom2nn-2

Passo 4

Opcionalmente, usando a simetria em binom2nn-2, podemos notar também que
binom2nn-2 = binom2n2n-(n-2) = binom2n,n+2,

Resposta

boxed,binom2nn-2,

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