Calcule o valor de

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S ;=;sumk=0^p(-1)^kbinomnk
com 0<= p<= n.
O conteúdo que vamos usar é a identidade de Pascal
binomnk ;=;binomn-1k+binomn-1k-1
e o princípio de indução sobre n.

Passo 2

Usando a identidade de Pascal dentro da soma, escrevemos
S ;=;sumk=0^p(-1)^kbinomnk =sumk=0^p(-1)^kl[binomn-1k+binomn-1k-1r]
Isso se separa em
sumk=0^p(-1)^kbinomn-1k ;+;sumk=0^p(-1)^kbinomn-1k-1
Na segunda soma façamos a troca de índice j=k-1:
sumk=0^p(-1)^kbinomn-1k-1 =sumj=-1^p-1(-1)^j+1binomn-1j =-sumj=0^p-1(-1)^jbinomn-1j
Logo defina
Sn^p=sumk=0^p(-1)^kbinomnk,
temos a relação de recorrência
Sn^p =Sn-1^p-Sn-1^,p-1

Passo 3

Verifiquemos a base da indução em n. Para n=1 e 0<= p<=1:
  • Se p=0, S1^0=binom10=1 e (-1)^0binom00=1.
  • Se p=1, S1^1=binom10-binom11=1-1=0 e (-1)^1binom01=(-1)cdot0=0.
    Portanto, para n=1 vale
S1^p=(-1)^pbinom0p

Passo 4

Suponha agora que para um dado n-1 e todo 0<= q<= n-1 já valha
Sn-1^q=(-1)^qbinomn-2q
Pela recorrência,
Sn^p =Sn-1^p-Sn-1^,p-1 =(-1)^pbinomn-2p-(-1)^p-1binomn-2p-1
;=;(-1)^pl[binomn-2p+binomn-2p-1r] =(-1)^pbinomn-1p
Isso fecha a indução em n.

Resposta

boxedS = sumk=0^p(-1)^kbinomnk =(-1)^pbinomn-1p

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