Prove que em cada coluna (exceto a coluna zero) os elementos do triângulo de Pascal estão em ordem crescente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em cada coluna j do triângulo de Pascal com j>=1, os números
binomjj,;binomj+1j,;binomj+2j,dots
formam uma sequência estritamente crescente. O conteúdo aqui é a definição e as propriedades dos coeficientes binomiais.

Passo 2

Recordando a definição factorial, para n>= j temos
binomnj =n!j!,(n-j)! e binomn+1j =(n+1)!j!,l((n+1)-jr)! =(n+1),n!j!,(n+1-j),(n-j)!

Passo 3

Dividindo binomn+1j por binomnj obtemos
binomn+1jbinomnj =(n+1),n!j!,(n+1-j),(n-j)!;/;n!j!,(n-j)! =n+1,n+1-j,

Passo 4

Como j>=1 implica n+1-j<= n, segue que
n+1,n+1-j,>1
Logo binomn+1j>binomnj para todo n>= j.

Resposta

Portanto, em cada coluna j>=1 do triângulo de Pascal, os termos binomnj crescem estritamente conforme n aumenta.

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