Considere os eventos
em
, tais que
i.v.
. O que dizer sobre
i.v.
?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma sequência de eventos
em
tal que
-
, ou seja, ocorre infinitas vezes com probabilidade 1. -
.
Queremos determinar, ou seja, a probabilidade de ocorrer infinitas vezes.
Passo 2
Lema de Borel–Cantelli I: se
, então
Basta aplicar a
. Como
segue que
Passo 3
O evento
é “ocorrem infinitos pares consecutivos de falhas”. Como a probabilidade desse evento é zero, com probabilidade 1 só existem finitamente muitos
tais que
e
ocorrem juntos.
Passo 4
Mas sabemos que
ocorre infinitas vezes (pois
). Para não haver pares consecutivos infinitos de
, cada falha
a partir de algum ponto deve ser seguida de um sucesso
. Portanto, existem infinitos
tais que
ocorre. Isso equivale a dizer que
ocorre infinitas vezes com probabilidade 1.