Considere os eventos A_{1}, A_{2}, \cdots em (\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P}), tais que P\left(A_{n}^{c}\right. i.v. )=1 \mathrm{e} \sum_{n=1}^{\infty} P\left(A_{n}^{c} \cap A_{n+1}^{c}\right)<\infty. O que dizer sobre P\left(A_{n}\right. i.v. ) ?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma sequência de eventos \{A_{n}\} em (\Omega,\mathcal F,\mathcal P) tal que
  1. P\bigl(\limsup_{n\to\infty}A_{n}^{c}\bigr)=1, ou seja, A_{n}^{c} ocorre infinitas vezes com probabilidade 1.
  2. \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P\bigl(A_{n}^{c}\cap A_{n+1}^{c}\bigr)<\infty.
    Queremos determinar P\bigl(\limsup_{n\to\infty}A_{n}\bigr), ou seja, a probabilidade de A_{n} ocorrer infinitas vezes.

Passo 2

Lema de Borel–Cantelli I: se \sum_{n=1}^\infty P(B_n)<\infty, então
P\bigl(\limsup_{n\to\infty}B_n\bigr) =0.
Basta aplicar a B_n = A_{n}^{c}\cap A_{n+1}^{c}. Como
\sum_{n=1}^{\infty}P\bigl(A_{n}^{c}\cap A_{n+1}^{c}\bigr)<\infty,
segue que
P\bigl(\limsup_{n\to\infty}(A_{n}^{c}\cap A_{n+1}^{c})\bigr) =0.

Passo 3

O evento \limsup (A_{n}^{c}\cap A_{n+1}^{c}) é “ocorrem infinitos pares consecutivos de falhas”. Como a probabilidade desse evento é zero, com probabilidade 1 só existem finitamente muitos n tais que A_{n}^{c} e A_{n+1}^{c} ocorrem juntos.

Passo 4

Mas sabemos que A_{n}^{c} ocorre infinitas vezes (pois P(\limsup A_{n}^{c})=1). Para não haver pares consecutivos infinitos de A_{n}^{c}, cada falha A_{n}^{c} a partir de algum ponto deve ser seguida de um sucesso A_{n+1}. Portanto, existem infinitos n tais que A_{n+1} ocorre. Isso equivale a dizer que A_{n} ocorre infinitas vezes com probabilidade 1.

Resposta

P\bigl(\limsup_{n\to\infty}A_{n}\bigr)=1.

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