Sejam A e B dois eventos, num mesmo espaço de probabilidade, tais que suas probabilidades estão entre 0 e 1 (intervalo aberto). Mostre ou dê um contra exemplo para a implicação: P(A \mid B)>P\left(A \mid B^{c}\right) \Rightarrow P(B \mid A)>P\left(B \mid A^{c}\right).

Passo 1

O enunciado diz que temos dois eventos A e B com 0<P(A)<1 e 0<P(B)<1, e quer saber se
P(A\mid B)>P\bigl(A\mid B^c\bigr) \;\Longrightarrow\; P(B\mid A)>P\bigl(B\mid A^c\bigr).
O conteúdo principal aqui é manipular as definições de probabilidade condicional e mostrar que cada uma dessas desigualdades é equivalente à mesma condição em termos de P(A\cap B).

Passo 2

Partimos de
P(A\mid B)>P\bigl(A\mid B^c\bigr) \;\Longleftrightarrow\; \frac{P(A\cap B)}{P(B)}>\frac{P(A\cap B^c)}{P(B^c)}.
Como P(B) e P(B^c)=1-P(B) são positivos, podemos multiplicar em cruz sem inverter o sinal:
P(A\cap B)\,P(B^c)>P(A\cap B^c)\,P(B).
Agora use P(B^c)=1-P(B) e P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B):
P(A\cap B)\bigl(1-P(B)\bigr)>\bigl(P(A)-P(A\cap B)\bigr)P(B)
P(A\cap B)-P(A\cap B)\,P(B)>P(A)\,P(B)-P(A\cap B)\,P(B)
P(A\cap B)>P(A)\,P(B).

Passo 3

Agora analisamos
P(B\mid A)>P\bigl(B\mid A^c\bigr) \;\Longleftrightarrow\; \frac{P(A\cap B)}{P(A)}>\frac{P(A^c\cap B)}{P(A^c)}.
Como P(A) e P(A^c)=1-P(A) são positivos, multiplicamos em cruz:
P(A\cap B)\,P(A^c)>P(A^c\cap B)\,P(A).
Use P(A^c)=1-P(A) e P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B):
P(A\cap B)\bigl(1-P(A)\bigr)>\bigl(P(B)-P(A\cap B)\bigr)P(A)
P(A\cap B)-P(A\cap B)\,P(A)>P(A)\,P(B)-P(A)\,P(A\cap B)
P(A\cap B)>P(A)\,P(B).

Passo 4

Vimos que
P(A\mid B)>P\bigl(A\mid B^c\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad P(A\cap B)>P(A)\,P(B) \quad\Longleftrightarrow\quad P(B\mid A)>P\bigl(B\mid A^c\bigr).
Logo a implicação é verdadeira (na verdade é uma equivalência).

Resposta

A implicação é válida, pois ambas as desigualdades são equivalentes à mesma condição
P(A\cap B)>P(A)\,P(B).

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