Sejam
e
dois eventos, num mesmo espaço de probabilidade, tais que suas probabilidades estão entre 0 e 1 (intervalo aberto). Mostre ou dê um contra exemplo para a implicação:
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois eventos
e
com
e
, e quer saber se
O conteúdo principal aqui é manipular as definições de probabilidade condicional e mostrar que cada uma dessas desigualdades é equivalente à mesma condição em termos de
.
Passo 2
Partimos de
Como
e
são positivos, podemos multiplicar em cruz sem inverter o sinal:
Agora use
e
:
Passo 3
Agora analisamos
Como
e
são positivos, multiplicamos em cruz:
Use
e
:
Passo 4
Vimos que
Logo a implicação é verdadeira (na verdade é uma equivalência).
Resposta
A implicação é válida, pois ambas as desigualdades são equivalentes à mesma condição