Qual é a probabilidade de 5 pessoas escolhidas ao acaso terem nascido em meses diferentes, considerando que:
a. Os meses do ano são equiprováveis?
b. O ano tem 365 dias ( 7 meses com 31 dias, 4 com 30 e 1 com 28 dias)?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, em cinco pessoas aleatórias, todas nascerem em meses distintos. O conteúdo é Probabilidade discreta e Princípio Multiplicativo (conteúdo de contagem e probabilidades condicionais). Vamos resolver primeiro o caso em que cada mês tem probabilidade igual (letra a) e depois o caso realista de 365 dias distribuídos em meses de tamanhos diferentes (letra b).

Passo 2

Caso (a): meses equiprováveis
Modelamos cada aniversário como a escolha de um mês num espaço com 12 resultados igualmente prováveis. São 12^5 sequências possíveis de meses para cinco pessoas. O número de sequências em que todos os meses são distintos é a permutação P(12,5)=12\times11\times10\times9\times8.
Logo, a probabilidade pedida é
P_a \;=\;\frac{12\times11\times10\times9\times8}{12^5} \;=\;\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{12^5}.

Passo 3

Podemos também ver como produto de probabilidades condicionais:
P_a \;=\; \frac{12}{12}\times\frac{11}{12}\times\frac{10}{12}\times\frac{9}{12}\times\frac{8}{12} \;=\;\frac{11}{12}\times\frac{10}{12}\times\frac{9}{12}\times\frac{8}{12}.

Passo 4

Caso (b): ano de 365 dias com meses de tamanhos diferentes
Agora cada pessoa nasce uniformemente em um dos 365 dias; há 365^5 sequências de dias. Chamando d(m) o número de dias do mês m, a condição “nascer em meses distintos” significa que, se a primeira pessoa nasceu em um dia de mês m_1, a segunda deve nascer num dos 365-d(m_1) dias que não pertencem a m_1, a terceira num dos 365-d(m_1)-d(m_2) dias fora de m_1,m_2, e assim por diante.
Em termos de soma sobre meses distintos, o número de sequências favoráveis é
\sum_{\substack{m_1,m_2,m_3,m_4,m_5\\text{todos distintos}}} d(m_1)\,d(m_2)\,d(m_3)\,d(m_4)\,d(m_5).
Portanto
P_b \;=\;\frac{1}{365^5} \sum_{\substack{m_1,\dots,m_5\\text{distintos}}} \bigl[d(m_1)\,d(m_2)\,d(m_3)\,d(m_4)\,d(m_5)\bigr].

Passo 5

Uma forma equivalente, somando primeiro sobre subconjuntos de 5 meses e depois permutando, é
P_b \;=\; \frac{5!}{365^5} \sum_{\substack{S\subset\{1,\dots,12\}\\|S|=5}} \prod_{m\in S}d(m),
onde \{d(1),\dots,d(12)\}=\{31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31\}.

Resposta

a) P_a = \frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{12^5}.
b) P_b = \frac{1}{365^5} \sum_{\substack{m_1,\dots,m_5\\text{todos distintos}}} d(m_1)\,d(m_2)\,d(m_3)\,d(m_4)\,d(m_5),
ou equivalentemente
P_b = \frac{5!}{365^5} \sum_{\substack{S\subset\{1,\dots,12\}\\|S|=5}} \prod_{m\in S}d(m).

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