Qual é a probabilidade de 5 pessoas escolhidas ao acaso terem nascido em meses diferentes, considerando que:
a. Os meses do ano são equiprováveis?
b.
ano tem 365 dias ( 7 meses com 31 dias, 4 com 30 e 1 com 28 dias)?
a. Os meses do ano são equiprováveis?
b.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de, em cinco pessoas aleatórias, todas nascerem em meses distintos. O conteúdo é Probabilidade discreta e Princípio Multiplicativo (conteúdo de contagem e probabilidades condicionais). Vamos resolver primeiro o caso em que cada mês tem probabilidade igual (letra a) e depois o caso realista de 365 dias distribuídos em meses de tamanhos diferentes (letra b).
Passo 2
Caso (a): meses equiprováveis
Modelamos cada aniversário como a escolha de um mês num espaço com 12 resultados igualmente prováveis. São sequências possíveis de meses para cinco pessoas. O número de sequências em que todos os meses são distintos é a permutação
.
Logo, a probabilidade pedida é
Modelamos cada aniversário como a escolha de um mês num espaço com 12 resultados igualmente prováveis. São
Logo, a probabilidade pedida é
Passo 3
Podemos também ver como produto de probabilidades condicionais:
Passo 4
Caso (b): ano de 365 dias com meses de tamanhos diferentes
Agora cada pessoa nasce uniformemente em um dos 365 dias; há sequências de dias. Chamando
o número de dias do mês
, a condição “nascer em meses distintos” significa que, se a primeira pessoa nasceu em um dia de mês
, a segunda deve nascer num dos
dias que não pertencem a
, a terceira num dos
dias fora de
, e assim por diante.
Agora cada pessoa nasce uniformemente em um dos 365 dias; há
Em termos de soma sobre meses distintos, o número de sequências favoráveis é
Portanto
Passo 5
Uma forma equivalente, somando primeiro sobre subconjuntos de 5 meses e depois permutando, é
onde
.
Resposta
a)
b)
ou equivalentemente