Considere os valores X_{1}, \ldots, X_{n} de uma variável X, com média \bar{X} e desvio padrão S. Mostre que a variável Z, cujos valores são Z_{i}=\left(X_{i}-\bar{X}\right) / S, i=1, \ldots, n tem média 0 e desvio padrão 1.

Passo 1

O enunciado dá n observações X_{1},\dots,X_{n} de uma variável X, com média
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
e desvio padrão
S=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bigl(X_i-\bar{X}\bigr)^2}.
Definimos
Z_i=\frac{X_i-\bar{X}}{S},\quad i=1,\dots,n,
e queremos mostrar que a sequência \{Z_i\} tem média 0 e desvio padrão 1. O conteúdo envolvido são propriedades de médias e variâncias sob transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as fórmulas da média e do desvio padrão (populacional) para \{Z_i\}:
\bar{Z}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i,
S_Z=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\bigl(Z_i-\bar{Z}\bigr)^2}.
Usaremos essas expressões para calcular \bar{Z} e S_Z.

Passo 3

Cálculo da média \bar{Z}:
\bar{Z} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{X_i-\bar{X}}{S} =\frac{1}{nS}\Bigl(\sum_{i=1}^n X_i - n\,\bar{X}\Bigr).
Como \sum_{i=1}^n X_i = n\,\bar{X}, temos
\bar{Z}=0.

Passo 4

Cálculo do desvio padrão S_Z. Como \bar{Z}=0, a variância de \{Z_i\} é
\mathrm{Var}(Z) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i^2 =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\bar{X})^2}{S^2} =\frac{1}{S^2}\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2.
Pela definição de S,
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 = S^2,
logo
\mathrm{Var}(Z)=\frac{S^2}{S^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad S_Z=\sqrt{1}=1.

Resposta

A sequência Z_i=(X_i-\bar{X})/S tem média 0 e desvio padrão 1.

Exercícios de Livros Relacionados