Em dois estudos realizados com o objetivo de estimar o nível médio de colesterol total para uma população de indivíduos saudáveis observaram-se os dados indicados na tabela seguinte.
Tabela 3.14. Medidas descritivas dos estudos A e B
Estudo
n
Média
Desvio padrão
A
100
160 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
60 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
B
49
150 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
35 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
Indique a resposta correta:
a) Não é possível estimar o nível médio de colesterol populacional só com esses dados.
b) Se os dois estudos foram realizados com amostras da mesma população não deveria haver diferença entre os desvios padrões amostrais.
c) Com os dados do estudo B, o colesterol médio populacional pode ser estimado com mais precisão do que com os dados do estudo A.
d) Ambos os estudos sugerem que a distribuição do colesterol na população é simétrica.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
28) Considere um conjunto de dados
\left\{X_{1}, \ldots, X_{n}\right\} .
a) Obtenha a média e a variância de
W_{1}, \ldots, W_{n} em que
W_{i}=X_{i}+k com
k denotando uma constante, em termos da média e da variância de
X .
b) Calcule a média e a variância de
V_{1}, \ldots, V_{n} em que
V_{i}=k X_{i} com
k denotando uma constante, em termos da média e da variância de
X .
29) Prove que
S^{2} , dado por (3.10) é um estimador não enviesado da variância populacional.
30) Considere os valores
X_{1}, \ldots, X_{n} de uma variável
X , com média
\bar{X} e desvio padrão
S . Mostre que a variável
Z , cujos valores são
Z_{i}=\left(X_{i}-\bar{X}\right) / S, i=1, \ldots ,
n tem média 0 e desvio padrão 1.
31) Prove a relação (3.8). Como ficaria essa expressão para
S^{2} ?
32) Considere uma amostra aleatória simples
X_{1}, \ldots, X_{n} de uma variável
X que assume o valor 1 com probabilidade
0<p<1 e o valor 0 com probabilidade
1-p . Seja
\hat{p}=n^{-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i} . Mostre que
i)
\mathrm{E}\left(X_{i}\right)=p e
\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=p(1-p) .
ii)
\quad \mathrm{E}(\hat{p})=p e
\operatorname{Var}(\hat{p})=p(1-p) / n .
iii)
0<\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)<0,25 .
Com base nesses resultados, utilize o Teorema Limite Central [ver Sen et al. (2009), por exemplo] para construir um intervalo de confiança aproximado conservador (i.e., com a maior amplitude possível) para
p . Utilize o Teorema de Sverdrup [ver Sen et al. (2009), por exemplo] para construir um intervalo
de confiança aproximado para
p com amplitude menor que a do intervalo mencionado acima. Veja também, Bussab e Morettin (2017).
33) Com a finalidade de entender a diferença entre “desvio padrão” e “erro padrão”,
a) Simule 10000 dados de uma distribuição normal com média 12 e desvio padrão 4. Construa o histograma correspondente, calcule a média e o desvio padrão amostrais e compare os valores obtidos com aqueles utilizados na geração dos dados.
b) Simule 500 amostras de tamanho
n=4 dessa população. Calcule a média amostral de cada amostra, construa o histograma dessas médias e estime o correspondente desvio padrão (que é o erro padrão da média).
c) Repita os passos a) e b) com amostras de tamanhos
n=9 e
n=100 . Comente os resultados comparando-os com aqueles preconizados pela teoria.
d) Repita os passos a) - c) simulando amostras de uma distribuição quiquadrado com 3 graus de liberdade.