Em dois estudos realizados com o objetivo de estimar o nível médio de colesterol total para uma população de indivíduos saudáveis observaram-se os dados indicados na tabela seguinte.
Tabela 3.14. Medidas descritivas dos estudos A e B
Estudo n Média Desvio padrão
A 100 160 \mathrm{mg} / \mathrm{dL} 60 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
B 49 150 \mathrm{mg} / \mathrm{dL} 35 \mathrm{mg} / \mathrm{dL}
Indique a resposta correta:
a) Não é possível estimar o nível médio de colesterol populacional só com esses dados.
b) Se os dois estudos foram realizados com amostras da mesma população não deveria haver diferença entre os desvios padrões amostrais.
c) Com os dados do estudo B, o colesterol médio populacional pode ser estimado com mais precisão do que com os dados do estudo A.
d) Ambos os estudos sugerem que a distribuição do colesterol na população é simétrica.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
28) Considere um conjunto de dados \left\{X_{1}, \ldots, X_{n}\right\}.
a) Obtenha a média e a variância de W_{1}, \ldots, W_{n} em que W_{i}=X_{i}+k com k denotando uma constante, em termos da média e da variância de X.
b) Calcule a média e a variância de V_{1}, \ldots, V_{n} em que V_{i}=k X_{i} com k denotando uma constante, em termos da média e da variância de X.
29) Prove que S^{2}, dado por (3.10) é um estimador não enviesado da variância populacional.
30) Considere os valores X_{1}, \ldots, X_{n} de uma variável X, com média \bar{X} e desvio padrão S. Mostre que a variável Z, cujos valores são Z_{i}=\left(X_{i}-\bar{X}\right) / S, i=1, \ldots, n tem média 0 e desvio padrão 1.
31) Prove a relação (3.8). Como ficaria essa expressão para S^{2} ?
32) Considere uma amostra aleatória simples X_{1}, \ldots, X_{n} de uma variável X que assume o valor 1 com probabilidade 0<p<1 e o valor 0 com probabilidade 1-p. Seja \hat{p}=n^{-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}. Mostre que
i) \mathrm{E}\left(X_{i}\right)=p e \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=p(1-p).
ii) \quad \mathrm{E}(\hat{p})=p e \operatorname{Var}(\hat{p})=p(1-p) / n.
iii) 0<\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)<0,25.
Com base nesses resultados, utilize o Teorema Limite Central [ver Sen et al. (2009), por exemplo] para construir um intervalo de confiança aproximado conservador (i.e., com a maior amplitude possível) para p. Utilize o Teorema de Sverdrup [ver Sen et al. (2009), por exemplo] para construir um intervalo
de confiança aproximado para p com amplitude menor que a do intervalo mencionado acima. Veja também, Bussab e Morettin (2017).
33) Com a finalidade de entender a diferença entre “desvio padrão” e “erro padrão”,
a) Simule 10000 dados de uma distribuição normal com média 12 e desvio padrão 4. Construa o histograma correspondente, calcule a média e o desvio padrão amostrais e compare os valores obtidos com aqueles utilizados na geração dos dados.
b) Simule 500 amostras de tamanho n=4 dessa população. Calcule a média amostral de cada amostra, construa o histograma dessas médias e estime o correspondente desvio padrão (que é o erro padrão da média).
c) Repita os passos a) e b) com amostras de tamanhos n=9 e n=100. Comente os resultados comparando-os com aqueles preconizados pela teoria.
d) Repita os passos a) - c) simulando amostras de uma distribuição quiquadrado com 3 graus de liberdade.

Passo 1

O enunciado apresenta dois estudos (A e B) com amostras da mesma população de indivíduos saudáveis, fornecendo o tamanho amostral n, a média amostral e o desvio-padrão amostral em mg/dL. Pede-se identificar qual afirmativa é correta sobre a precisão da estimativa do colesterol médio populacional. Para isso, usamos o conceito de erro-padrão da média, que vale
\mathrm{EP} = \frac{s}{\sqrt{n}},
onde s é o desvio-padrão amostral.

Passo 2

Calculamos o erro-padrão de cada estudo:
Para A: s_A=60, n_A=100,
\mathrm{EP}_A = \frac{60}{\sqrt{100}} = \frac{60}{10} = 6.
Para B: s_B=35, n_B=49,
\mathrm{EP}_B = \frac{35}{\sqrt{49}} = \frac{35}{7} = 5.
Como \mathrm{EP}_B<\mathrm{EP}_A, o estudo B fornece estimativa mais precisa.

Passo 3

Logo, entre as alternativas:
a) Falsa: é possível estimar por intervalos de confiança usando média e erro-padrão.
b) Falsa: desvios-padrão amostrais podem diferir entre amostras da mesma população.
c) Verdadeira: B tem erro-padrão menor, logo maior precisão.
d) Falsa: não há informação sobre simetria só com média e desvio-padrão.
e) Falsa: já houve resposta correta em c).

Passo 4

Questão 28(a): Defina W_i = X_i + k. A média amostral de W é
\overline{W} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i + k) = \overline{X} + k.
A variância amostral de W é
\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\bigl[(X_i + k)-(\overline{X}+k)\bigr]^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 = S_X^2.

Passo 5

Questão 28(b): Defina V_i = k\,X_i. A média amostral de V é
\overline{V} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n k\,X_i = k\,\overline{X}.
A variância amostral de V é
\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\bigl(kX_i - k\overline{X}\bigr)^2 = k^2 \,\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 = k^2\,S_X^2.

Passo 6

Questão 29: Provar que
S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2
é não enviesado para a variância populacional \sigma^2. Pelo fato bem-conhecido de que
\mathrm{E}\Bigl[\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2\Bigr] = (n-1)\,\sigma^2,
divide-se por n-1 para obter \mathrm{E}[S^2]=\sigma^2, logo é não enviesado.

Passo 7

Questão 30: Defina Z_i = \bigl(X_i - \overline{X}\bigr)/S. Como \overline{X} é a média e S o desvio-padrão amostral,
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i = \frac{1}{n S}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X}) = 0,
e
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Z_i^2 = \frac{1}{n S^2}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = 1,
portanto Z tem média 0 e desvio-padrão 1.

Passo 8

Questão 31: A relação ( 3.8) é a identidade das somas de quadrados:
\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 + n\,(\overline{X}-\mu)^2.
Para S^2 (variância amostral) usamos \mu=\overline{X} no lado esquerdo e obtemos
\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 + n\,(0)^2,
que reafirma a forma usual de S^2.

Passo 9

Questão 32(i): Se X_i é Bernoulli( p), então
\mathrm{E}(X_i)=p e
\operatorname{Var}(X_i)=p(1-p),
pela definição de Bernoulli.

Passo 10

Questão 32(ii,iii): Defina \hat p = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
\mathrm{E}(\hat p)=\frac{1}{n}\sum \mathrm{E}(X_i)=p.
\operatorname{Var}(\hat p)=\frac{1}{n^2}\sum \operatorname{Var}(X_i)=\frac{p(1-p)}{n}.
O produto p(1-p) atinge máximo 0,25 em p=0,5, logo 0<p(1-p)<0,25.

Passo 11

Construção de intervalo de confiança para p:
Pelo Teorema Limite Central,
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}
é um IC aproximado. Para ser conservador substitui-se p(1-p) pelo valor máximo 0,25, obtendo
\hat p \pm z_{\alpha/2}\frac{1}{2\sqrt{n}}.
Pelo Teorema de Sverdrup usa-se no lugar p(1-p)\approx \hat p(1-\hat p), resultando em amplitude menor:
\hat p \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.

Passo 12

Questão 33 (simulação):
a) Gerar 10000 observações de \mathcal N(12,\,4^2), calcular histograma, média e desvio.
b) Repetir 500 vezes para amostras de n=4, guardar médias, construir histograma dessas médias e estimar desvio ( = erro-padrão).
c) Repetir b) para n=9 e n=100, comparar a dispersão das médias com 4/\sqrt{n}.
d) Repetir a)–c) gerando amostras de \chi^2_3.
Isso ilustra que o desvio-padrão da população é fixo, enquanto o erro-padrão da média decresce em 1/\sqrt{n}.

Resposta

Cholesterol (a–e): c)
28(a) \overline{W}=\overline{X}+k,\;\;S_W^2=S_X^2. 28(b) \overline{V}=k\,\overline{X},\;\;S_V^2=k^2\,S_X^2. 29) \mathrm{E}[S^2]=\sigma^2.
30) Z_i tem média 0 e desvio-padrão 1.
31) \sum(X_i-\mu)^2=\sum(X_i-\overline{X})^2+n(\overline{X}-\mu)^2.
32(i) p e p(1-p).
32(ii) \mathrm{E}(\hat p)=p,\;\;\operatorname{Var}(\hat p)=p(1-p)/n. 32(iii) 0<p(1-p)<0,25.
IC conservador: \hat p\pm z_{\alpha/2}/(2\sqrt n).
IC Sverdrup: \hat p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}. 33) Ver passo 12 para esquema de simulação.

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