Consumo de água O número de galões de água consumidos diariamente em um pequeno vilarejo está listado a seguir. Faça a distribuição de frequência (usando cinco classes) para o conjunto
de dados. Então, aproxime a média populacional e o desvio padrăo populacional do conjunto de dados.
167 180 192 173 145 151 174
175 178 160 195 124 244 146
162 146 177 163 149 188

Passo 1

Resumindo: temos n=20 consumos diários (em galões) cujo menor valor é 124 e o maior é 244. Vamos agrupar em k=5 classes de igual amplitude, montar a tabela de frequência, e a partir dela aproximar a média populacional e o desvio‐padrão populacional usando as fórmulas de dados agrupados:
\bar x \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k f_i\,x_{mi}, \quad \sigma \approx \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^k f_i\,(x_{mi}-\bar x)^2}\,,
onde f_i é a frequência da classe i e x_{mi} é o ponto médio dessa classe.

Passo 2

Calculamos o intervalo total (range) e a amplitude de classe:
\min=124,\quad \max=244,\quad \text{range}=\max-\min=120.
A amplitude teórica de cada classe é
h=\frac{\text{range}}{k}=\frac{120}{5}=24.
Para facilitar, arredondamos para h=25.

Passo 3

Definimos então as classes a partir de 124, cada uma com amplitude 25, e contamos as frequências:
Classe [124,149): valores 124,145,146,146; \Rightarrow f_1=4
Ponto médio x_{m1}=(124+149)/2=136{,}5 Classe [149,174): valores 149,151,160,162,163,167,173; \Rightarrow f_2=7
Ponto médio x_{m2}=(149+174)/2=161{,}5 Classe [174,199): valores 174,175,177,178,180,188,192,195; \Rightarrow f_3=8
Ponto médio x_{m3}=(174+199)/2=186{,}5 Classe [199,224): não há valores nesta faixa; \Rightarrow f_4=0
Ponto médio x_{m4}=(199+224)/2=211{,}5 Classe [224,249): valor 244; \Rightarrow f_5=1
Ponto médio x_{m5}=(224+249)/2=236{,}5 Confirme que \sum f_i=4+7+8+0+1=20.

Passo 4

Calculamos a média aproximada:
\bar x \approx \frac{1}{20}\bigl(4\cdot136{,}5+7\cdot161{,}5+8\cdot186{,}5+0\cdot211{,}5+1\cdot236{,}5\bigr) =\frac{3405}{20}=170{,}25.

Passo 5

Calculamos o desvio‐padrão populacional aproximado:
\sigma \approx \sqrt{\frac{1}{20}\sum_{i=1}^5 f_i\,(x_{mi}-\bar x)^2} =\sqrt{\frac{4556{,}25+535{,}94+2112{,}50+0+4389{,}06}{20}} =\sqrt{579{,}69}\approx24{,}08.

Resposta

Distribuição de frequência (5 classes): [124,149): f_1=4 [149,174): f_2=7 [174,199): f_3=8 [199,224): f_4=0 [224,249): f_5=1 Média aproximada: \bar x\approx170{,}25 galões
Desvio‐padrão aproximado: \sigma\approx24{,}08 galões

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