Cuidados com a saúde dos cachorros A tabela mostra os resultados de uma pesquisa na qual 90 proprietários foram questionados sobre o quanto gastaram no último ano com os cuidados com a saúde de seus cachorros e se seus cachorros são de raça pura ou raças misturadas.
Tipo de cachorro
Raça
pura
Mistura
de raças
Total
Cuidados
com a saúde
Menos que (
19 21 40
Mais do que (
) 100$ 35 15 50
Total 54 36 90
(a) Encontre a probabilidade de que \ 100$ ou mais tenham sido gastos com a saúde de um cachorro selecionado aleatoriamente no ano passado.
(b) Dado que um proprietário de cachorro selecionado aleatoriamente tenha gasto menos que $ 100, encontre a probabilidade de o cachorro ser de raça mista.
(c) Encontre a probabilidade de um proprietário selecionado aleatoriamente gastar \ 100$ ou mais com a saúde de seu cachorro e o cão ser de raça mista.
(d) Os eventos “gastar \ 100$ ou mais” e “ter um cachorro de raça mista” são dependentes ou independentes? Explique.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com 90 proprietários, cruzando a variável “gasto com saúde do cachorro” (menos que \$100 ou \$100 ou mais) e o “tipo de cachorro” (raça pura ou mistura de raças). Vamos usar conceitos de probabilidade clássica (frequência relativa), probabilidade condicional e independência de eventos:
  • Probabilidade marginal: \displaystyle P(A)=\frac{\text{nº de casos em }A}{90}º.
  • Probabilidade condicional: \displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
  • Independência: A e B são independentes se, e somente se, P(A\cap B)=P(A)\,P(B).

Passo 2

(a) Para encontrar P(\text{gasto}\ge100), contabilizamos os que gastaram mais que \$100, que são 50 casos. Logo
P(\text{gasto}\ge100)=\frac{50}{90}=\frac{5}{9}\approx0,5556.

Passo 3

(b) Dados os proprietários que gastaram menos que \$100 40 pessoas), queremos a proporção cujo cachorro é mistura de raças ( 21. Então
P(\text{mistura}\mid \text{gasto}<100) =\frac{21/90}{40/90} =\frac{21}{40}=0,525.

Passo 4

(c) A probabilidade conjunta de “gastar \$100 ou mais” e “cachorro de mistura de raças” corresponde aos 15 casos em 90:
P(\text{gasto}\ge100\;\cap\;\text{mistura}) =\frac{15}{90}=\frac{1}{6}\approx0,1667.

Passo 5

(d) Para testar independência, comparamos
P(\text{gasto}\ge100)\,P(\text{mistura}) =\frac{50}{90}\times\frac{36}{90} =\frac{5}{9}\times\frac{2}{5} =\frac{2}{9}\approx0,2222
com
P(\text{gasto}\ge100\;\cap\;\text{mistura}) =\frac{1}{6}\approx0,1667.
Como \tfrac{2}{9}\neq\tfrac{1}{6}, os eventos são dependentes.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{5}{9}\approx0,5556
(b) \displaystyle \frac{21}{40}=0,525
(c) \displaystyle \frac{1}{6}\approx0,1667
(d) Dependentes, pois \displaystyle P(\text{gasto}\ge100\;\cap\;\text{mistura})\neq P(\text{gasto}\ge100)\,P(\text{mistura}).

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