Lâmpadas Doze lâmpadas são testadas para verificar se duram pelo menos o tempo afirmado pelo fabricante. Três lâmpadas faIham no teste. Duas låmpadas são selecionadas aleatoriamente, sem reposição.
(a) Encontre a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham falhado no teste.
(b) Encontre a probabilidade de que ambas as lâmpadas tenham passado no teste.

Passo 1

O enunciado fala de 12 lâmpadas testadas, das quais 3 falharam e 9 passaram. Vamos tirar aleatoriamente 2 lâmpadas sem reposição e calcular duas probabilidades usando combinatória básica e definição de probabilidade clássica.

Passo 2

O número total de formas de escolher 2 lâmpadas entre 12 é dado por
\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66.

Passo 3

Para que ambas falhem, escolhemos as 2 dentro das 3 que falharam. O número de casos favoráveis é
\binom{3}{2} = 3.
Portanto a probabilidade é
P(\text{duas falhas}) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{12}{2}} = \frac{3}{66} = \frac{1}{22}.

Passo 4

Para que ambas passem, escolhemos as 2 dentro das 9 que passaram. O número de casos favoráveis é
\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36.
Logo
P(\text{duas aprovações}) = \frac{\binom{9}{2}}{\binom{12}{2}} = \frac{36}{66} = \frac{6}{11}.çõ

Resposta

(a) \tfrac{1}{22}
(b) \tfrac{6}{11}

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