De quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posições adjacentes?

Passo 1

Temos 7 meninas e 12 meninos, total de 19 pessoas dispostas em roda. Queremos contar arranjos circulares com todas as pessoas distintas, sob a restrição de que não haja duas meninas em posições adjacentes. Vamos usar a ideia de primeiro dispor os meninos em círculo e depois inserir as meninas nos “vãos” entre eles.

Passo 2

Arranjar os 12 meninos em círculo. Como são pessoas distintas e a posição relativa importa apenas até rotação, há
(12-1)! ;=; 11!
maneiras de dispor os meninos.

Passo 3

Entre esses 12 meninos dispostos em círculo existem exatamente 12 “vãos” (um entre cada par de meninos). Para evitar meninas adjacentes, cada menina deve ocupar um vão distinto. Escolhemos 7 desses 12 vãos, o que pode ser feito de
binom127
maneiras.

Passo 4

Depois de escolhidos os 7 vãos, permutamos as 7 meninas entre si, gerando
7!
arranjos.

Passo 5

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de arranjos é o produto das etapas anteriores:
11!;times;binom127;times;7!

Resposta

11! ,cdot, binom127 ,cdot, 7!

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