Demonstre as seguintes propriedades:
Se P(An)=1 para n=1,2, ldots, então P(capn=1^infty An)=1.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência de eventos A1,A2,dots com P(An)=1 para todo n, e pede para mostrar que
Pl(capn=1^inftyAnr)=1
Vamos usar as propriedades de probabilidade: complemento de evento, leis de De Morgan e subaditividade contável.

Passo 2

Como P(An)=1, o complemento An^c tem probabilidade
Pl(An^cr)=1-P(An)=1-1=0

Passo 3

Pela lei de De Morgan, o complemento da interseção é a união dos complementos:
l(capn=1^inftyAnr)^c =cupn=1^inftyAn^c

Passo 4

Usando a subaditividade contável (ou seja, P(cupnEn)<=sumnP(En)), obtemos
Pl(cupn=1^inftyAn^cr) <=sumn=1^inftyPl(An^cr) =sumn=1^infty0=0
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Pl(l(capn=1^inftyAnr)^cr)=0

Passo 5

Finalmente, como P(E)+P(E^c)=1 para qualquer evento E, temos
Pl(capn=1^inftyAnr) =1-Pl(l(capn=1^inftyAnr)^cr) =1-0=1

Resposta

Pl(capn=1^inftyAnr)=1

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