Consideremos um experimento em que será contado o número de estrelas em uma região longíqua do espaço, a região sendo de volume V. Façamos as seguintes três hipóteses, que são análogas espaciais das hipóteses do processo de Poisson:
(H1) A probabilidade de achar k estrelas na região depende somente de V.
(H2) Os números de estrelas contadas em regiões disjuntas do espaço são independentes.
(H3) Duas estrelas năo ocupam o’mesmo lugar.
Interpretando estas hipóteses de maneira semelhante à do processo do Poisson, obtenha o valor de Pk(V)= probabilidade de achar exatamente k estrelas na região de volume V. Aqui, o parâmetro lambda é a densidade estelar na vizinhança da região sendo considerada.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição da variável aleatória que conta o número de estrelas em uma região de volume V, sob as hipóteses análogas a um processo de Poisson espacial:
H1 diz que a probabilidade de k estrelas depende só de V,
H2 impõe independência entre regiões disjuntas,
H3 impede duas estrelas ocuparem exatamente o mesmo ponto.

Passo 2

Para capturar o comportamento em volumes infinitesimais, dividimos V em muitos pedaços de volume De<a V pequeno. Pelas hipóteses H1 e H3 segue-se que, para um desses pedaços:
P0(De<a V)=1-lambda,De<a V+o(De<a V),
P1(De<a V)=lambda,De<a V+o(De<a V),
e para todo k>=2,
Pk(De<a V)=o(De<a V)
Aqui lambda é a densidade média de estrelas por unidade de volume e o(De<a V) indica termos que vão a zero mais rápido que De<a V.

Passo 3

Pela independência (H2), cada pedaço de volume gera seu próprio “conto” de estrelas independentemente. Se dividirmos V em n pedaços iguais, De<a V=V/n, cada pedaço gera ao todo 0 ou 1 estrela com probabilidade aproximada lambda,De<a V. Definindo indicadores Xi iguais a 1 se houver estrela no pedaço i e 0 caso contrário, temos
sumi=1^n Xi sim Binl(n,pnr), pn=lambda,Vn
Assim
Pl(sumi=1^n Xi=kr) =binomnkpn^k(1-pn)^,n-k =binomnkl(lambdaVnr)^kl(1-lambdaVnr)^n-k

Passo 4

Fazendo ntoinfty e lembrando que
limntoinftyl(1-lambda Vnr)^n=e^-lambda V
e que binomnkl(1nr)^kto1k!, obtemos
Pk(V) =limntoinftybinomnkl(lambdaVnr)^kl(1-lambdaVnr)^n-k =e^-lambda V,(lambda V)^kk!

Resposta

Pk(V)=e^-lambda V,(lambda V)^kk!

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