Consideremos um experimento em que será contado o número de estrelas em uma região longíqua do espaço, a região sendo de volume
. Façamos as seguintes três hipóteses, que são análogas espaciais das hipóteses do processo de Poisson:
(H1) A probabilidade de achar
estrelas na região depende somente de
.
(H2) Os números de estrelas contadas em regiões disjuntas do espaço são independentes.
(H3) Duas estrelas năo ocupam o’mesmo lugar.
Interpretando estas hipóteses de maneira semelhante à do processo do Poisson, obtenha o valor de
probabilidade de achar exatamente
estrelas na região de volume
. Aqui, o parâmetro
é a densidade estelar na vizinhança da região sendo considerada.
(H1) A probabilidade de achar
(H2) Os números de estrelas contadas em regiões disjuntas do espaço são independentes.
(H3) Duas estrelas năo ocupam o’mesmo lugar.
Interpretando estas hipóteses de maneira semelhante à do processo do Poisson, obtenha o valor de
Passo 1
O enunciado pede a distribuição da variável aleatória que conta o número de estrelas em uma região de volume
, sob as hipóteses análogas a um processo de Poisson espacial:
H1 diz que a probabilidade de estrelas depende só de
,
H2 impõe independência entre regiões disjuntas,
H3 impede duas estrelas ocuparem exatamente o mesmo ponto.
H1 diz que a probabilidade de
H2 impõe independência entre regiões disjuntas,
H3 impede duas estrelas ocuparem exatamente o mesmo ponto.
Passo 2
Para capturar o comportamento em volumes infinitesimais, dividimos
em muitos pedaços de volume
pequeno. Pelas hipóteses H1 e H3 segue-se que, para um desses pedaços:
e para todo
,
Aqui
é a densidade média de estrelas por unidade de volume e
indica termos que vão a zero mais rápido que
.
Passo 3
Pela independência (H2), cada pedaço de volume gera seu próprio “conto” de estrelas independentemente. Se dividirmos
em
pedaços iguais,
, cada pedaço gera ao todo 0 ou 1 estrela com probabilidade aproximada
. Definindo indicadores
iguais a 1 se houver estrela no pedaço
e 0 caso contrário, temos
Assim
Passo 4
Fazendo
e lembrando que
e que , obtemos
e que