A densidade conjunta de X e Y é dada por:
f_{X, Y}(x, y)=\frac{1}{2} I_{A}(x, y) \operatorname{com} A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\right\}
a. Calcule as marginais e verifique se X e Y são independentes.
b. Obtenha a densidade condicional de Y dado que X>0.
c. Determine a função de distribuição conjunta entre X e Y.

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=\frac12\,I_{A}(x,y) \quad\text{com}\quad A=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid -1\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
O conteúdo aqui é cálculo de densidades marginais, teste de independência, densidade condicional e função de distribuição conjunta de variáveis contínuas.

Passo 2

Calcular as marginais.
Para x\in[-1,1]:
f_X(x) =\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy =\int_{0}^{1}\frac12\,dy =\frac12.
Fora desse intervalo, f_X(x)=0.
Para y\in[0,1]:
f_Y(y) =\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx =\int_{-1}^{1}\frac12\,dx =1.
Fora de [0,1], f_Y(y)=0.

Passo 3

Verificar independência.
Se X e Y fossem independentes teríamos
f_X(x)\,f_Y(y) =\frac12\cdot1 =\frac12 \stackrel{?}{=} f_{X,Y}(x,y)
para todos (x,y) no suporte. E, de fato, em -1\le x\le1,\;0\le y\le1,
\,f_X(x)\,f_Y(y)=\tfrac12=f_{X,Y}(x,y).
Logo, X e Y são independentes.

Passo 4

Obter f_{Y\mid X>0}(y).
Primeiro,
P(X>0) =\int_{0}^{1}f_X(x)\,dx =\int_{0}^{1}\frac12\,dx =\frac12.
A densidade conjunta condicionada é
f_{Y\mid X>0}(y) =\frac{\displaystyle\int_{0}^{1}f_{X,Y}(x,y)\,dx}{P(X>0)} =\frac{\frac12\cdot1}{\frac12} =1, \quad 0\le y\le1,
e zero fora de [0,1]. Ou seja, Y\mid(X>0) é uniforme em [0,1].

Passo 5

Determinar a função de distribuição
F(x,y)=P(X\le x,\;Y\le y) =\int_{-1}^{\,\min(x,1)}\int_{0}^{\,\min(y,1)}\frac12\,dy\,dx.
Para -1\le x\le1 e 0\le y\le1 isso dá
F(x,y) =\frac12\bigl(x-(-1)\bigr)\,y =\frac{(x+1)\,y}{2}.
Nos demais casos,
  • se x< -1 ou y<0, então F(x,y)=0;
  • se x>1 e 0\le y\le1, então
    \,F(x,y)=\frac12\,(1-(-1))\,y=y;
  • se -1\le x\le1 e y>1, então
    \,F(x,y)=\frac12\,(x+1)\,1=\frac{x+1}{2};
  • se x>1 e y>1, então F(x,y)=1.

Resposta

a.
f_X(x)= \begin{cases} \frac12,&-1\le x\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \quad f_Y(y)= \begin{cases} 1,&0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}áá
Como f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y) na região de suporte, X e Y são independentes.
b.
f_{Y\mid X>0}(y)= \begin{cases} 1,&0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
c.
F(x,y)= \begin{cases} 0,&x<-1\text{ ou }y<0,\\\ \frac{(x+1)\,y}{2},&-1\le x\le1,\;0\le y\le1,\\\ y,&x>1,\;0\le y\le1,\\\ \frac{x+1}{2},&-1\le x\le1,\;y>1,\\\\ 1,&x>1,\;y>1. \end{cases}

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