Determine o valor de n se:
A_{n}^{4}=42 A_{n}^{2};

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n tal que
A_{n}^{4} \;=\; 42\,A_{n}^{2}.
Aqui o conteúdo é permutações, e vamos usar a fórmula
A_{n}^{k} \;=\;\frac{n!}{(n-k)!}.

Passo 2

Substituindo k=4 e k=2 na fórmula, a equação fica
\frac{n!}{(n-4)!} \;=\; 42 \,\frac{n!}{(n-2)!}.

Passo 3

Usamos a relação
(n-2)! \;=\;(n-2)(n-3)(n-4)!
para reescrever o lado direito e cancelar fatores idênticos:
\frac{n!}{(n-4)!} \;=\; 42\;\frac{n!}{(n-2)(n-3)(n-4)!} \quad\Longrightarrow\quad (n-2)(n-3)=42.

Passo 4

Expandindo e reorganizando obtemos a equação quadrática
n^2 -5n -36 = 0.
O discriminante é \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-36)=169, então as raízes são
n = \frac{5\pm13}{2} \;\Longrightarrow\; n=9\quad\text{ou}\quad n=-4.

Passo 5

Como n deve ser inteiro não-negativo e pelo menos 4 (para A_n^4 estar definida), descartamos n=-4.

Resposta

n=9

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