Sabendo-se que numa reunião todos os presentes apertaram as mãos entre si e que ao todo foram feitos 66 cumprimentos, calcule o número de pessoas presentes à reunião.

Passo 1

O enunciado diz que em uma reunião com n pessoas todo mundo apertou a mão de todo mundo exatamente uma vez, e que o total de apertos foi 66. Isso é o clássico problema de contagem de pares, em que usamos a combinação de n elementos tomados de 2 em 2:
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.

Passo 2

Vamos igualar essa fórmula ao total dado e montar a equação:
\frac{n(n-1)}{2} = 66.
Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
n(n-1) = 132
e, em seguida, trazendo tudo para um lado,
n^2 - n - 132 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática \;n^2 - n - 132 = 0\; pela fórmula de Bhaskara:
n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-132)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 528}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{1 \pm 23}{2}.
Isso dá duas raízes:
n = \frac{1 + 23}{2} = 12 \quad\text{ou}\quad n = \frac{1 - 23}{2} = -11.
Como n é número de pessoas, descartamos a solução negativa.

Resposta

O número de pessoas presentes à reunião foi 12.

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