Determine o valor de x para que a identidade C_{15}^{x-1}=C_{15}^{2 x+1} seja verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede x tal que
\binom{15}{x-1} \;=\;\binom{15}{2x+1}.
O conteúdo usado é a propriedade de simetria dos coeficientes binomiais e o fato de que eles só estão definidos para índices inteiros entre 0 e 15.

Passo 2

Lembrando que, para 0\le k,l\le n,
\binom{n}{k} = \binom{n}{l}
só acontece se
  1. k = l,
  2. ou k + l = n.
    Aqui n=15, k = x-1 e l = 2x+1. Vamos analisar as duas possibilidades.

Passo 3

Caso 1: x-1 = 2x+1.
Isso dá
x - 1 = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; -1 - 1 = 2x - x \;\Longrightarrow\; x = -2.
Mas então x-1 = -3, que está fora de [0,15]. Descarta-se.
Caso 2: (x-1) + (2x+1) = 15.
Isso dá
3x = 15 \;\Longrightarrow\; x = 5.
Verificação: x-1 = 4 e 2x+1 = 11 estão em [0,15] e realmente
\binom{15}{4} = \binom{15}{11}.

Resposta

x = 5

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