§ 3.2
  1. Dizemos que a distribuição de X é simétrica (em tomo de zero) se P(X >= x)=P(X <=-x) para todo x in R, e que sua distribuição é simétrica em torno de mu se
P(X >= mu+x)=P(X <= mu-x) forall x in R
(a) Prove: se a distribuição de X é simétrica em torno de mu e se X é integrável, então E X=mu. (Sugestão. Prove primeiro para mu=0.)
(b) Suponha que X possua densidade f(x). Mostre que se f(mu+x)= =f(mu-x) forall x, então a distribuição de X é simétrica em torno de mu. Enuncie e prove a propriedade análoga para o caso dis-
© Qual o ponto de simetria das distribuições das seguintes variáveis aleatórias? Dê a esperança de cada variável aleatória, se existir.
(i) X sim.
(ii) (M, b) Cauchy X sim U[a, b], i. e., X.
(iii) FX.
(iv) X.
(v) f(x)=lambda2 e^-lambda|x-mu|, x in R tal que é a função de Cantor.
(vi) tendo distribuição de Laplace (ou exponencial dupla):

Passo 1

O enunciado define distribuição simétrica de uma v.a. P(X >= mu + x) ;=; P(X <= mu - x)forall xinR, em torno de pela condição
e pede:
  1. (a) mostrar que, se é integrável e simétrica em torno de , então .
  2. (b) no caso contínuo, provar que implica a condição acima; enunciar e mostrar o análogo discreto.
  3. © para várias distribuições, identificar o ponto de simetria e dar a esperança (se existir).

Passo 2

Prova de (a) para P(X>= x)=P(X<= -x) . Se F-X(x)=P(-X<= x)=P(X>= -x)=P(X<= x)=FX(x) é simétrica em torno de E[X]=E[-X] Longrightarrow E[X]=-E[X]Longrightarrow E[X]=0 , então para todo
Isso implica que a função de distribuição de satisfaz, para todo ,
Logo e têm mesma lei. Supondo integrável,

Passo 3

Extensão de (a) ao caso geral P(Y>= x)=P(X>= mu+x)=P(X<= mu-x)=P(Y<= -x), . Defina E[X]=E[Y+mu]=E[Y]+mu=mu . Então
isto é, é simétrica em torno de . Pelo passo anterior , e assim

Passo 4

Prova de (b) no caso contínuo. Se f(mu+x)=f(mu-x)forall x, tem densidade P(X>= mu+x) =integralmu+x^+inftyf(t),dt = integral-infty^mu-xf(u),du = P(X<= mu-x) e
p(mu+k)=p(mu-k)forall kinZ,
então, para P(X>= mu+x)=sumk:,mu+k>=mu+xp(mu+k) =sumk:,mu-k<=mu-xp(mu-k) = P(X<= mu-x), ,
No caso discreto, seja . Se existe ponto tal que
então
e a distribuição é simétrica em torno de .

Passo 5

Resolvendo ©, identificando ponto de simetria e f(x)=lambda2,e^-lambda|x-mu| :
(i)
Ponto de simetria: .
.
(ii) ,
Ponto de simetria: .
não existe (não é integrável).
(iii)
Ponto de simetria: .
.
(iv)
Ponto de simetria: .
.
(v) com função de distribuição de Cantor
Ponto de simetria: .
(é integrável, pois suporte em ).
(vi) com distribuição de Laplace
Ponto de simetria: .
.

Resposta

(a) P(X>= mu+x)=P(X<= mu-x), .
(b) Se p(mu+k)=p(mu-k)forall k, então
isto é, é simétrica em torno de . No caso discreto, a condição análoga é
o que garante .
©
(i) simetria em , .
(ii) simetria em , não existe.
(iii) simetria em , .
(iv) simetria em , .
(v) simetria em , .
(vi) simetria em , .

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