§ 3.2
- Dizemos que a distribuição de
é simétrica (em tomo de zero) se
para todo
, e que sua distribuição é simétrica em torno de
se
(a) Prove: se a distribuição de
é simétrica em torno de
e se
é integrável, então
. (Sugestão. Prove primeiro para
.)
(b) Suponha que
possua densidade
. Mostre que se
, então a distribuição de
é simétrica em torno de
. Enuncie e prove a propriedade análoga para o caso dis-
© Qual o ponto de simetria das distribuições das seguintes variáveis aleatórias? Dê a esperança de cada variável aleatória, se existir.
(i)
.
(ii)
Cauchy
, i. e.,
.
(iii)
.
(iv)
.
(v)
tal que
é a função de Cantor.
(vi)
tendo distribuição de Laplace (ou exponencial dupla):
(b) Suponha que
© Qual o ponto de simetria das distribuições das seguintes variáveis aleatórias? Dê a esperança de cada variável aleatória, se existir.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Passo 1
O enunciado define distribuição simétrica de uma v.a.
em torno de
pela condição
e pede:
- (a) mostrar que, se
é integrável e simétrica em torno de , então . - (b) no caso contínuo, provar que
implica a condição acima; enunciar e mostrar o análogo discreto. - © para várias distribuições, identificar o ponto de simetria e dar a esperança (se existir).
Passo 2
Prova de (a) para
. Se
é simétrica em torno de
, então para todo
Isso implica que a função de distribuição de
satisfaz, para todo
,
Logo
e
têm mesma lei. Supondo
integrável,
Passo 3
Extensão de (a) ao caso geral
. Defina
. Então
isto é,
é simétrica em torno de
. Pelo passo anterior
, e assim
Passo 4
Prova de (b) no caso contínuo. Se
tem densidade
e
então, para
,
No caso discreto, seja
. Se existe ponto
tal que
então
e a distribuição é simétrica em torno de
.
Passo 5
Resolvendo ©, identificando ponto de simetria e
:
(i)
Ponto de simetria: .
.
Ponto de simetria:
(ii)
,
Ponto de simetria: .
não existe (não é integrável).
Ponto de simetria:
(iii)
Ponto de simetria: .
.
Ponto de simetria:
(iv)
Ponto de simetria: .
.
Ponto de simetria:
(v)
com função de distribuição de Cantor
Ponto de simetria: .
(é integrável, pois suporte em
).
Ponto de simetria:
(vi)
com distribuição de Laplace
Ponto de simetria:
.
.
Resposta
(a)
.
(b) Se então
(b) Se
isto é,
é simétrica em torno de
. No caso discreto, a condição análoga é
o que garante
.
©
(i) simetria em ,
.
(ii) simetria em ,
não existe.
(iii) simetria em ,
.
(iv) simetria em ,
.
(v) simetria em ,
.
(vi) simetria em ,
.
©
(i) simetria em
(ii) simetria em
(iii) simetria em
(iv) simetria em
(v) simetria em
(vi) simetria em