§ 3.2
  1. Dizemos que a distribuição de X é simétrica (em tomo de zero) se P(X >= x)=P(X <=-x) para todo x in R, e que sua distribuição é simétrica em torno de mu se
P(X >= mu+x)=P(X <= mu-x) forall x in R
(a) Prove: se a distribuição de X é simétrica em torno de mu e se X é integrável, então E X=mu. (Sugestão. Prove primeiro para mu=0.)
(b) Suponha que X possua densidade f(x). Mostre que se f(mu+x)= =f(mu-x) forall x, então a distribuição de X é simétrica em torno de mu. Enuncie e prove a propriedade análoga para o caso dis-
(c) Qual o ponto de simetria das distribuições das seguintes variáveis aleatórias? Dê a esperança de cada variável aleatória, se existir.
(i) X sim N(mu, sigma^2).
(ii) X sim Cauchy (M, b), i. e., f(x)=bpi[b^2+(x-M)^2], x in R.
(iii) X sim U[a, b].
(iv) X sim b(n, 12).
(v) X tal que FX é a função de Cantor.
(vi) X tendo distribuição de Laplace (ou exponencial dupla):
f(x)=lambda2 e^-lambda|x-mu|, x in R

Passo 1

O enunciado define distribuição simétrica de uma v.a. X em torno de mu pela condição
P(X >= mu + x) ;=; P(X <= mu - x)forall xinR,
e pede:
  1. (a) mostrar que, se X é integrável e simétrica em torno de mu, então E[X]=mu.
  2. (b) no caso contínuo, provar que f(mu+x)=f(mu-x) implica a condição acima; enunciar e mostrar o análogo discreto.
  3. (c) para várias distribuições, identificar o ponto de simetria e dar a esperança (se existir).

Passo 2

Prova de (a) para mu=0. Se X é simétrica em torno de 0, então para todo x
P(X>= x)=P(X<= -x)
Isso implica que a função de distribuição de -X satisfaz, para todo x,
F-X(x)=P(-X<= x)=P(X>= -x)=P(X<= x)=FX(x)
Logo X e -X têm mesma lei. Supondo X integrável,
E[X]=E[-X] Longrightarrow E[X]=-E[X]Longrightarrow E[X]=0

Passo 3

Extensão de (a) ao caso geral mu. Defina Y = X - mu. Então
P(Y>= x)=P(X>= mu+x)=P(X<= mu-x)=P(Y<= -x),
isto é, Y é simétrica em torno de 0. Pelo passo anterior E[Y]=0, e assim
E[X]=E[Y+mu]=E[Y]+mu=mu

Passo 4

Prova de (b) no caso contínuo. Se X tem densidade f e
f(mu+x)=f(mu-x)forall x,
então, para x>=0,
P(X>= mu+x) =integralmu+x^+inftyf(t),dt = integral-infty^mu-xf(u),du = P(X<= mu-x)
No caso discreto, seja p(k)=P(X=k). Se existe ponto mu tal que
p(mu+k)=p(mu-k)forall kinZ,
então
P(X>= mu+x)=sumk:,mu+k>=mu+xp(mu+k) =sumk:,mu-k<=mu-xp(mu-k) = P(X<= mu-x),
e a distribuição é simétrica em torno de mu.

Passo 5

Resolvendo (c), identificando ponto de simetria e E[X]:
(i) Xsim N(mu,sigma^2)
Ponto de simetria: mu.
E[X]=mu.
(ii) XsimCauchy(M,b), f(x)=dfracbpil[b^2+(x-M)^2r]
Ponto de simetria: M.
E[X] não existe (não é integrável).
(iii) Xsim U[a,b]
Ponto de simetria: tfraca+b2.
E[X]=tfraca+b2.
(iv) Xsim Binl(n,tfrac12r)
Ponto de simetria: n/2.
E[X]=n/2.
(v) X com função de distribuição de Cantor
Ponto de simetria: 1/2.
E[X]=1/2 (é integrável, pois suporte em [0,1]).
(vi) X com distribuição de Laplace
f(x)=lambda2,e^-lambda|x-mu|
Ponto de simetria: mu.
E[X]=mu.

Resposta

(a) E[X]=mu.
(b) Se f(mu+x)=f(mu-x) então
P(X>= mu+x)=P(X<= mu-x),
isto é, X é simétrica em torno de mu. No caso discreto, a condição análoga é
p(mu+k)=p(mu-k)forall k,
o que garante P(X>=mu+x)=P(X<=mu-x).
(c)
(i) simetria em mu, E[X]=mu.
(ii) simetria em M, E[X] não existe.
(iii) simetria em tfraca+b2, E[X]=tfraca+b2.
(iv) simetria em n/2, E[X]=n/2.
(v) simetria em 1/2, E[X]=1/2.
(vi) simetria em mu, E[X]=mu.

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